Στο μυθιστόρημά του “Ακόμα και οι Θεοί” ο Ισαάκ Ασίμοφ σκιαγραφεί τη προσωπικότητα ενός εκ των βασικών πρωταγωνιστών του. Ο αντι-ήρωας επιστήμονάς του είναι αυτός που, από τον άχαρο χώρο της μετριότητας μέσω ενός συνδυασμού απίθανης τύχης, πείσματος μέχρι ξεροκεφαλιάς αλλά και σκληρής δουλειάς, βρέθηκε να κερδίζει τα φώτα της δημοσιότητας και μια θέση στο Πάνθεον των σπουδαίων του χώρου, έπειτα από μια ανακάλυψη για την οποία ο ίδιος, ουσιαστικά δεν συνείσφερε σε τίποτε.
Κάθε πανεπιστημιακό ίδρυμα έχει τη δική του αντίστοιχη περίπτωση προς μελέτη. Αλλά για πολλά χρόνια ήμουν σίγουρος ότι ως πρότυπο για τον χαρακτήρα αυτό, ο Ασίμοφ δεν είχε στο μυαλό του παρά τον πατέρα της φράκταλ γεωμετρίας. Έναν άνθρωπο που από τον χώρο της οικονομίας και των υπολογιστών, βρέθηκε να κατονομάζεται ως “ένας από αυτούς που δημιούργησε το μεγαλύτερο αντίκτυπο στα μαθηματικά του 20ου αιώνα”.
Benoît B. Mandelbrot, ο πατέρας των φράκταλ
Αν και τα κοινά σημεία είναι πολλά, η σύγκριση του Mandelbrot με τον ήρωα του Ασίμοφ μάλλον θα ήταν άδικη. Από τη μια μεριά οι μαθηματικές του γνώσεις ποτέ δεν έφτασαν όπως φαίνεται σε ένα επίπεδο πέρα του μετρίου, παρά την απόκτηση διδακτορικού στα μαθηματικά. Ο ίδιος αναφέρει συχνά πως όταν έδωσε τις κρίσιμες εισαγωγικές εξετάσεις για την Ecole Polytechnique δεν μπορούσε να τα πάει καλά στην Άλγεβρα, παρ΄ όλα αυτά κατόρθωσε να πάρει υψηλό βαθμό μετατρέποντας νοητικά τα αλγεβρικά ερωτήματα σε εικόνες.
Από την άλλη μεριά, η ικανότητά του να οπτικοποιεί τις ακαθόριστες αλγεβρικές έννοιες και η προσήλωσή του σε νέες γεωμετρικές ιδέες, ήταν ίσως αυτές που οδήγησαν τη μεγάλη μαθηματική ιδιοφυΐα της εποχής John von Neuman να τον προτείνει και να προωθήσει στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Σπουδών στο Πρίνστον.
Η εκπαίδευση του Mandelbort του ήταν ακανόνιστη και ο νους του επίμονα οπτικός και παραστατικός. Εγκατέλειπε συχνά το κάθε αντικείμενο σπουδών του ανολοκλήρωτο για να το αντικαταστήσει κάποιο άλλο. Άφησε τα μαθηματικά για να σπουδάσει αεροναυτική στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Καλιφόρνιας, την οποία σύντομα εγκατέλειψε για να καταπιαστεί με πλήθος διαφορετικών αντικειμένων στο Πρίνστον.
Η επιστροφή του στο Παρίσι σημειώθηκε με ταυτόχρονη – και εννοείται προσωρινή – επιστροφή του στις μαθηματικές επιστήμες. Τελείωσε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού και μετά από αυτό μετά εξελέγει μέλος του Centre National de la Recherche Scientifique, που αποτελεί το μεγαλύτερο ερευνητικό ίδρυμα της Γαλλίας.
Η καριέρα του είχε κι αυτή διάφορες διακυμάνσεις από τα μαθηματικά και την οικονομία μέχρι τη ρευστομηχανική και τη πληροφορική. Όταν πλέον το 1979 εργαζόμενος για χρόνια στην IBM είχε στη διάθεσή του τους καλύτερους προγραμματιστές να εργάζονται επάνω στις ιδέες του, η ανθρωπότητα είχε πλέον τα απαιτούμενα εργαλεία για να αποδώσει οπτικά τις ιδέες του και να κάνει τον κόσμο να αναφωνήσει.
Εν αρχή ην το χάος
Αν κάνουμε μια ιστορική αναδρομή στη προσπάθειά μας να ανακαλύψουμε τις ρίζες της θεωρίας της πολυπλοκότητας και του χάους, το μόνο που θα πετύχουμε είναι να χαθούμε στο λαβύρινθο των διακλαδώσεων που τελικά οδήγησαν στη δημιουργία των και τη μαθηματική Θεωρία του Χάους η οποία τα αγκαλιάζει. Ταυτόχρονα, θα πάρουμε μια πρώτη νοητική ιδέα για το τι είναι ένα φράκταλ: ένας δρόμος που οδηγεί σε νέες διακλαδώσεις οι οποίες με τη σειρά τους δημιουργούν νέες διακλαδώσεις με τη διαδικασία να συνεχίζεται επ΄ άπειρον. Ή αντίστροφα, η ιστορία των φράκταλ ξεκινά από ένα άπειρο σύνολο επιστημονικών συμβάντων τα οποία καταλήγουν σε ένα μοναδικό δρόμο που οδήγησε στα φράκταλ και τη Θεωρία του Χάους.
Δεν θα ασχοληθούμε λοιπόν με τη προσπάθεια δημιουργίας συστημάτων πρόβλεψης καιρού ή σεισμών. Δεν θα δούμε τη καμπύλη Peano ούτε θα μιλήσουμε για την αστάθεια των τριών σωμάτων σε τροχιά. Απ΄ όλα τα παρακλάδια της ιστορίας των επιστημών που στο σύνολό τους οδήγησαν στη γέννηση της Θεωρίας του Χάους και της φράκταλ γεωμετρίας, θα πιάσουμε ένα από αυτό. Θα ισχυριστούμε εντελώς ψευδώς ότι αυτό αποτέλεσε την αρχή, και θα ξεκινήσουμε από εκεί το νήμα της ιστορίας μας.
Πως πληθαίνουν οι κάμπιες
Είμαστε στο σημείο όπου ο καθηγητής της τάξης με το αρμόζων ύφος, προχωράει στη ρητορική ερώτηση. “Τι κοινό έχουν: μια βρύση που στάζει. Ένα περίεργο γεωμετρικό σχήμα που ονομάζεται σύνολο Mandelbord. Ο αριθμός των καμπιών την άνοιξη. Η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας. Οι καρδιακοί παλμοί. Και η πυροδότηση των νευρώνων στον εγκέφαλό σας;” Και σίγουρος ότι απέσπασε τη πλήρη προσοχή του κοινού αποκαλύπτει το μεγάλο μυστικό. “Το κοινό σημείο παιδιά, είναι μια εξίσωση!”
Παρακάτω θα σας γράψω την εν λόγω εξίσωση. Και παρά τα φαινόμενα, με αυτή σας υπόσχομαι πως θα σας εκπλήξω.
Μελετώντας τους πληθυσμούς
Η αύξηση των πληθυσμών είναι θέμα που ενδιαφέρει τους βιολόγους, τους επιδημιολόγους, τους κοινωνιολόγους και πάνω απ΄ όλα, τους μαθηματικούς. Η ιστορία είναι γεμάτη παραδείγματα πληθυσμών εκτός ελέγχου: απελευθέρωση μιας μικρής αποικίας κουνελιών στην Αυστραλία οι απόγονοι της οποίας αυξήθηκαν με εκρηκτικό τρόπο σε ολόκληρη την ήπειρο. Κάμπια που δραπέτευσε από ένα εργαστήριο της Βοστώνης και κατέστρεψε σοδειές σε ολόκληρες τις βοριοδυτικές ΗΠΑ. Ή κύματα γρίπης που αδρανούν επί χρόνια, εμφανίζονται ξαφνικά, εξαπλώνονται σε τεράστιους πληθυσμούς κι εντελώς ξαφνικά και πάλι εξαφανίζονται, πριν την εμφάνιση του επόμενου κύκλου.
Μερικοί πληθυσμοί πολλαπλασιάζονται γρήγορα και αυξάνονται με εκρηκτικούς ρυθμούς. Κάποιοι άλλοι ανεξάρτητα από το αρχικό τους μέγεθος μειώνονται σταθερά μέχρι που εξαφανίζονται. Άλλοι, μετά από μια διακύμανση τείνουν να σταθεροποιηθούν σε μια τιμή που αλλάζει ελάχιστα με το πάροδο του χρόνου. Και τέλος, κάποιοι άλλοι συμπεριφέρονται με εντελώς χαοτική συμπεριφορά, κάνοντας την πρόβλεψη της επόμενης τιμής τους αδύνατη.
Παραδόξως, τα μαθηματικά που προσομοιώνουν αυτές τις μεταβολές των πληθυσμών είναι σχετικά απλά. Πάρτε για παράδειγμα μια αποικία οργανισμού για τον οποίο υποθέτουμε ότι
- Σε κάθε περίοδο αναπαραγωγής ο πληθυσμός διπλασιάζεται. Και πως
- Ο διαθέσιμος χώρος αλλά και η απαραίτητη τροφή για την ευδοκίμηση του πληθυσμού, είναι πάντα επαρκής.
Απλές εξισώσεις
Αν ξεκινήσουμε με ένα πληθυσμό 2 ατόμων, τότε αμέσως μετά το επόμενο διάστημα αναπαραγωγής ο πληθυσμός θα είναι 4 άτομα. Αμέσως μετά 8, έπειτα 16, 32 κ.ο.κ. Η εξίσωση που περιγράφει μια τέτοια ανάπτυξη πληθυσμού είναι η
αν=Α∙2ν
όπου αν ο πληθυσμός μετά τη ν-οστή περίοδο αναπαραγωγής και Α ο αρχικός πληθυσμός. Διαφορετικά, μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση
αν+1=2∙αν
η οποία περιγράφει ότι “τη ν+1 περίοδο αναπαραγωγής ο πληθυσμός θα είναι ίσος με δύο φορές τον πληθυσμό της ν περιόδου αναπαραγωγής”. Για παράδειγμα, αν ο πληθυσμός αναπαράγεται κάθε χρόνο, η παραπάνω εξίσωση λέει πως τη 2η χρονιά ο πληθυσμός θα είναι ίσος με
α2=2∙α1
ή δύο φορές τον πληθυσμό της προηγούμενης χρονιάς.
Βέβαια, ο ρυθμός ανάπτυξης δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσος με 2. Ίσως κάποια τμήματα του πληθυσμού δεν επιβιώνουν για διάφορες αιτίες και ο πληθυσμός της επόμενης χρονιάς να είναι 1,5 φορές τον πληθυσμό της προηγούμενης. Τότε η εξίσωση γίνεται
αν+1=1,5∙αν
Και γενικότερα, αν συμβολίσουμε με c τον ρυθμό ανάπτυξης ενός παρατηρούμενου πληθυσμού, θα έχουμε τη γενικότερη εξίσωση
αν+1=c∙αν
Παρατηρήστε ότι αν η τιμή του c είναι μικρότερη του 1, τότε, ανεξάρτητα με ποιον πληθυσμό θα ξεκινήσετε, με τη πάροδο του χρόνου ο πληθυσμός θα μειωθεί, μέχρι τελικά να μηδενιστεί.
Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τη λεγόμενη εκθετική ανάπτυξη. Ή, όπως είπαμε παραπάνω, έναν πληθυσμό που για τιμές του c>1, πολλαπλασιάζεται συνεχώς και ανεξέλεγκτα.
Η φύση δεν αγαπά τους εκθέτες
Το θέμα είναι ότι κανένα φυσικό ή κοινωνικό σύστημα δεν παρουσιάζει ποτέ εκθετικούς ρυθμούς ανάπτυξης για μεγάλα διαστήματα. Ο διαθέσιμος χώρος τελειώνει, η τροφή λιγοστεύει, η φήμη εξαπλώνεται σε όλο τελικά το πληθυσμό ώσπου τελικά δεν είναι δυνατή περαιτέρω ανάπτυξη (ή εξάπλωση). Μια απλή προσθήκη στη παραπάνω εξίσωση έδειξε ότι μπορεί να προσομοιάσει σε μεγάλο βαθμό τις μεταβολές που ακολουθούν τα διάφορα φυσικά συστήματα. Και πριν δούμε τη προσθήκη αυτή, να κάνουμε μια διευκρίνηση.
Στο εξής οι εξισώσεις που θα βλέπουμε δεν θα δείχνουν τον αριθμό των μελών του πληθυσμού από τη μια χρονιά στην άλλη. Αυτό που μας ενδιαφέρει εξ΄ άλλου δεν είναι ο ίδιος ο αριθμός, αλλά το ποσοστό ανάπτυξης σε σχέση με κάποιο ανώτατο πιθανό όριο. Έτσι, τη μέγιστη τιμή που θα μπορούσε να φτάσει ποτέ ο πληθυσμός θα τη λέμε ίση με 100% και από εκεί και πέρα, οι αριθμοί που θα παίρνουμε θα αφορούν το ποσοστό επί τοις εκατό σε σχέση με τη τιμή αυτή.
Με αυτή τη προσαρμογή, η εξίσωση που περιγράφει καλύτερα τον πληθυσμό που δεν αυξάνεται εκθετικά γίνεται
αν+1=c∙αν∙(1-αν)
Ταξίδι στο κόσμο των Ελκυστών
Ας δούμε ένα παράδειγμα του τι λέει αυτή η εξίσωση.
Υποθέτουμε ότι στο βιολογικό μας εργαστήριο έχουμε το χώρο που αναπτύσσουμε την αποικία βακτηρίων μας. Ο χώρος μπορεί να γεμίσει με ένα συγκεκριμένο αριθμό βακτηρίων (το 100% που λέγαμε), εμείς ξεκινάμε προφανώς με έναν μικρότερο αριθμό από αυτόν.
Ας υποθέσουμε ότι θα ξεκινήσουμε με το 30% του μέγιστου πληθυσμού. Άρα στη τιμή αν της παραπάνω εξίσωσης θα βάλουμε τον αριθμό 0,3. Επίσης, υποθέτουμε ότι η παροχή τροφής είναι (α) αρχικά τέτοια, που να οδηγεί σε διπλασιασμό των γεννήσεων σε κάθε περίοδο αναπαραγωγής, άρα η τιμή της σταθεράς c θα είναι ίση με 2. Και (β) η παροχή τροφής είναι σταθερή, άρα όταν ο πληθυσμός μεγαλώσει, η τροφή θα αρχίζει να γίνεται ανεπαρκής. Ο παράγοντας 1-αν της εξίσωσης είναι αυτός που δείχνει αυτή ακριβώς τη μείωση του πληθυσμού.
Οι παρακάτω αριθμοί δείχνουν σε ποσοστό επί τοις εκατό την ανάπτυξη του πληθυσμού πριν από τη 1η, 2η, 3η κ.ο.κ αντίστοιχα περίοδο αναπαραγωγής:
0,3 0,42 0,4872 0,4996 0,4999 0,5 0,5 0,5
Με απλά λόγια, το παραπάνω προσεγγιστικό μαθηματικό μοντέλο δείχνει, όπως ακριβώς έχει παρατηρηθεί και στο εργαστήριο, ότι ο πληθυσμός θα αρχίσει να αυξάνεται μέχρι να σταθεροποιηθεί στη τιμή 0,5, ή στο 50% του μέγιστου δυνατού πληθυσμού. Γραφικά θα μπορούσαμε να το αποδώσουμε με το παρακάτω διάγραμμα:
Όπως λέμε, στο διάγραμμα εμφανίζεται ένας ελκυστής, μια γραμμή (αυτή που βρίσκεται στο 0,5 στο παραπάνω σχήμα) την οποία οι τιμές του πληθυσμού προσεγγίζουν και τελικά σταθεροποιούνται γύρω από αυτήν.
Λίγη παραπάνω τροφή παρακαλώ!
Κι αν αλλάξουμε τη παροχή τροφής; Μπορούμε να μαντέψουμε τη συνέχεια. Θα αυξήσουμε τη παροχή κατά ένα παράγοντα 0,5, δηλ. ο συντελεστής c της εξίσωσής μας θα γίνει ίσως με 2,5. Πρακτικά αυτό μεταφράζεται με το ότι, αν ο πληθυσμός είχε δυνατότητα να αυξηθεί ανεξέλεγκτα, τότε σε κάθε περίοδο αναπαραγωγής θα γινόταν ίσος με 2,5 φορές του πληθυσμού της προηγούμενης χρονιάς.
Τι θα γίνει στο παραπάνω μοντέλο; Αυτό που μαντεύουμε είναι πως (α) η αύξηση δεν θα είναι προφανώς ανεξέλεγκτη. Και πως (β) αφού η τροφή αυξήθηκε, τότε ο πληθυσμός θα σταθεροποιηθεί μεν και πάλι, αλλά σε μια ανώτερη τιμή.
Μπορείτε να ξεκινήσετε με όποιον αρχικό πληθυσμό θέλετε στη παραπάνω εξίσωση. Στο παρακάτω διάγραμμα ξεκίνησα με αρχική τιμή 0,1 (το 10% του μέγιστου δυνατού πληθυσμού) και αυτή τη φορά, έχουμε πράγματι έναν νέο, μεγαλύτερο σε τιμή ελκυστή:
Έως τώρα και μιλώντας με μαθηματικούς όρους, δεν έχουμε παρά μια μη γραμμική εξίσωση. Η οποία για τις διάφορες τιμές της σταθεράς της, παρουσιάζει συνεχώς μια οριζόντια ασύμπτωτη που εξαρτάται από τη τιμή της σταθεράς. Οκ, βαρετό.
Όλα τα παραπάνω θα ήταν για την ακρίβεια έως και άκρως βαρετά, αν δεν ήμασταν σε ένα άρθρο που αφορά τα φράκταλ και τη θεωρία του Χάους. Που σημαίνει πως αυτό που αναμένουμε, είναι να μη συνεχίζεται τίποτε φυσιολογικά.
Πορεία διπλασιασμού προς το παράξενο
Αυξάνουμε κι άλλο τη παροχή τροφής. Μεγαλώνουμε το συντελεστή c και τον εξισώνουμε με τη τιμή 3,2. Και κάτι παράξενο αρχίζει να συμβαίνει.
Η κόκκινη γραμμή στο διάγραμμα δείχνει τις μεταβολές του πληθυσμού από έτος σε έτος. Αυτή τη φορά δεν έχουμε σταθεροποίηση γύρω από μια τιμή. Παρατηρήστε ότι σε κάθε επόμενη αναπαραγωγή ο πληθυσμός σταθεροποιείται γύρω από μια διαφορετική τιμή κάθε φορά. Το αποτέλεσμα είναι να έχουμε δύο, και όχι έναν όπως πριν, ελκυστές, οι οποίοι στο σχήμα φαίνονται με τη μπλε γραμμή.
Γιατί γίνεται αυτό; Η φύση θα μας απαντήσει ένα μεγαλόπρεπο “γιατί έτσι”, και το μόνο που μένει σε εμάς είναι να παρακολουθήσουμε τι έχει ακόμη να μας δώσει.
Κι άλλη τροφή. Ο συντελεστής παροχής γίνεται τώρα 3,5, και αναμένουμε να δούμε πως θα συμπεριφερθεί ο πληθυσμός μας.
Οι ελκυστές τώρα έχουν γίνει τέσσερις. Χρόνο με το χρόνο ο πληθυσμός αλλάζει τιμή, αλλά για την ώρα φαίνεται η αλλαγή να συμβαίνει με ομαλό τρόπο. Οι τιμές του πληθυσμού σταθεροποιούνται τελικά γύρω από τις τέσσερις τιμές που φαίνονται στο διάγραμμα, κάνοντάς τον (ακόμη) προβλέψιμο.
Κάτι τέτοιο δεν θα συνεχιστεί για πολύ.
Πορεία προς το Χάος
Βήμα με το βήμα ο διπλασιασμός των ελκυστών συνεχίζεται με όλο και πιο σύντομους ρυθμούς. Για c=3,56 ο πληθυσμός παλινδρομεί πλέον γύρω από 8 τιμές:
Ενώ για τη τιμή c=3,6 (αλλά και αρκετά νωρίτερα από αυτή!) δεν υπάρχει καμία δυνατότητα πρόβλεψης.
Παρατηρούμε ότι εξακολουθεί να υπάρχει ένα μοτίβο στις τιμές του πληθυσμού. Για παράδειγμα, ο πληθυσμός σε καμία χρονιά δεν θα πάρει τη τιμή 0,7. Δεν φαίνεται όμως να υπάρχει κανένας τρόπος πρόβλεψης της ακριβής τιμής της επόμενης χρονιάς.
Ενώ για μια ακόμη μεγαλύτερη τιμή του c, επικρατεί σχεδόν πλήρες χάος:
Όπως λέγεται συχνά, το χάος περικλύει τη τάξη μέσα του και τη βλέπουμε στο παραπάνω διάγραμμα. Παρατηρήστε για παράδειγμα τα επαναλαμβανόμενα μοτίβα του. Αυτές οι δομές εμφανίζονται συνεχώς σε μικρότερη κλίμακα. Τι εννοούμε με αυτό:
Το διάγραμμα έχει παρθεί μετά από 313 περιόδους αναπαραγωγής. Αν παίρναμε ένα αντίστοιχο μετά από πχ 10.000 περιόδους, τότε:
- Θα παρατηρούσαμε την ίδια δομή, το ίδιο μοτίβο.
- Αν μεγενθύναμε σε ένα από αυτά τα επαναλαμβανόμενα τμήματα και τα “ανοίγαμε”, θα παρατηρούσαμε στο τμήμα αυτό να συνεχίζεται το ίδιο μοτίβο!
Και η διαδικασία αυτή θα γινόταν συνεχώς, σε όποια κλίμακα κι αν κάναμε την επανάληψη.
Αλλά για να το δούμε καλύτερα αυτό, θα αλλάξουμε διάγραμμα.
Μια νέα οπτική
Στα παραπάνω διαγράμματα παρακολουθούσαμε τις μεταβολές του πληθυσμού (κατακόρυφος άξονας) σε σχέση με τις περιόδους αναπαραγωγής του (οριζόντιος άξονας). Δηλαδή, για κάθε έτος βλέπαμε πόσο ήταν η τιμή του πληθυσμού.
Είδαμε πως για διαφορετικές τιμές της παροχής τροφής (του c) παίρναμε διαφορετικό αριθμό ελκυστών. Ο πληθυσμός κάθε φορά, σταθεροποιούταν γύρω από μια, δύο, τέσσερις ή περισσότερες τιμές.
Κάθε νέα τιμή του c, παρουσίαζε σχεδόν και ένα διαφορετικό αριθμό ελκυστών.
Στο παρακάτω διάγραμμα θα μελετήσουμε τους ίδιους τους ελκυστές. Και αυτό που βλέπουμε συγκεκριμένα, είναι (α) πόσοι ελκυστές (β) γύρω από ποια τιμή του πληθυσμού, εμφανίζονται για τις διάφορες τιμές του c. Θυμίζω, είμαστε εδώ και ώρα στην εξίσωση αν+1=c∙αν∙(1-αν). Και αυτό που μας δίνει για τον αριθμό των ελκυστών της είναι το παρακάτω:
Στο σχήμα εκτός των άλλων βλέπουμε μια επιβεβαίωση των παραπάνω γραφημάτων. Όταν το c είναι μικρότερο του 3 ο πληθυσμός παρουσιάζει έναν ελκυστή, οι τιμή του οποίου γίνονται όλο και μεγαλύτερη όσο μεγαλώνει το c. Από τη τιμή 3 κι έπειτα οι ελκυστές γίνονται δύο, οι οποίοι όπως φαίνεται διπλασιάζονται όλο και πιο γρήγορα όσο αυξάνει η τιμή του c.
Και υπάρχουν αρκετά που μπορούμε να παρατηρήσουμε εδώ. Το πρώτο είναι η ομοιότητα στην αλλαγή κλίμακας. Όπως φαίνεται και στο βίντεο που ακολουθεί, το ζουμάρισμα προς μια τυχαία διακλάδωση του ελκυστή εμφανίζει συνεχώς το ίδιο μοτίβο:
Όπως αποδεικνύεται, τόσο σε αυτό όσο και σε οποιοδήποτε άλλο φράκταλ σχήμα που παρουσιάζει επανάληψη υπό κλίμακα, κανένα από τα παρόμοια σχήματα που εμφανίζονται δεν είναι ίδιο με το αντίστοιχο μεγεθυμένο.
Επίσης μπορούμε να διακρίνουμε με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους αυτό που ανακαλύψαμε στα παραπάνω σχήματα, δηλαδή το ότι μέσα στο φαινομενικό χάος της μεταβολής των τιμών του πληθυσμού επικρατεί με πολλούς τρόπους μια τάξη. Δείτε για παράδειγμα τι συμβαίνει για τιμές του c λίγο μεγαλύτερες του 3,8. Εκεί που ο πληθυσμός άλλαζε τιμές ανεξέλεγκτα, ξαφνικά αρχίζει και πάλι να παλινδρομεί μεταξύ τριών τιμών μόνο, οι οποίες αμέσως μετά γίνονται 6, 12 κ.ο.κ.
Μια απλή εξίσωση
Οι ιδιότητες που προκύπτουν από την απλή εξίσωση που μελετάμε παραπάνω δεν τελειώνουν εδώ και είναι τόσες πολλές, που η περιγραφή τους δεν χωράει σε μια μικρή σειρά άρθρων. Οι δε εφαρμογές των ιδιοτήτων αυτών είναι τόσες πολλές που ποικίλουν από τη πρόβλεψη του καιρού ή εξάλειψη θορύβου σε ηχητικές συσκευές, μέχρι τη πρόληψη της καρδιακής ανεπάρκιας με τη ρύθμιση των σταθερών παραμέτρων που οδηγούν στη μετάβαση από τη χαώδη λειτουργία σε προβλέψιμους, τακτικούς ρυθμούς.
Εμείς όμως μελετάμε κυρίως τη μαγευτική, σχηματική αναπαράσταση των εξισώσεων αυτών που οδηγούν στη λεγόμενη φράκαλ γεωμετρία. Και δεν θα μπορούσαμε να κλείσουμε οποιαδήποτε αναφορά σε αυτήν χωρίς να ρίξουμε μια βαθιά ματιά στα σχήματα που έκαναν τα φράκταλ γνωστά στο ευρύτερο κοινό. Μαζί με αυτά θα ρίξουμε μια φευγαλέα ματιά στο γιατί αποτελούν συνέχεια όσων είδαμε παραπάνω, καθώς και τη σχέση τους με την εξίσωση που εξετάσαμε.
Αναφέρομαι φυσικά στα σύνολα Mandelbord. Μια εικόνα των οποίων βλέπετε στην αρχική εικόνα του άρθρου. Και αυτά, θα είναι το θέμα μας για το επόμενο άρθρο.
Όπου θα ετοιμαστούμε για μια βαθιά βουτιά στο σύνορο του απείρου.
