Η βικιπαίδια γράφει πως “με τον διεθνή όρο φράκταλ στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν “απείρως περίπλοκο“.
Η επανάληψη την αλλαγή κλίμακας είναι το κατ΄ εξοχήν χαρακτηριστικό ενός φράκταλ σχήματος. Πριν δούμε πως εμφανίζεται κάτι τέτοιο στο γνωστότερο φράκταλ σχήμα που υπάρχει, θα ξεκινήσουμε με κάποιες πολύ απλούστερες δομές.
Πως να φτιάξετε ένα φράκταλ
Αν και τα φράκταλ ξεκίνησαν ως οπτική απεικόνιση απλών μαθηματικών εξισώσεων, στη πραγματικότητα μπορούμε να τα δούμε και ως αυτόνομα γεωμετρικά σχήματα. Με απλούς (ή και όχι τόσο απλούς) τρόπους, μπορούμε εύκολα είτε στον υπολογιστή είτε σε ένα κομμάτι χαρτί να σχεδιάσουμε τη δική μας φράκταλ δομή.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Η χιονονιφάδα
Το σχέδιό μας θα ξεκινήσει με ένα τρίγωνο. Κάθε μια από τις πλευρές του θα τη χωρίσουμε σε τρία ίσα τμήματα και με πλευρά το μεσαίο από αυτά, θα σχεδιάσουμε εξωτερικά του τριγώνου ένα νέο τρίγωνο.
Συνεχίζοντας τη διαδικασία – θεωρητικά – επ΄ άπειρον, θα έχουμε ένα πανέμορφο σχηματάκι με κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.
Όπως αποδεικνύεται, το τελικό σχήμα που θα προκύψει μετά από άπειρες επαναλήψεις θα έχει εμβαδόν ίσο με το διπλάσιο του αρχικού τριγώνου, ενώ η περίμετρός του είναι… άπειρη.
Το δέντρο
Η επανάληψη υπό αλλαγή κλίμακας είναι το κλειδί στη δημιουργία των σχημάτων μας. Εδώ θα ξεκινήσουμε με ένα απλό, κατακόρυφα σχεδιασμένο ευθύγραμμο τμήμα συγκεκριμένου μήκους και πάχους. Από το ένα του άκρο και υπό μια τυχαία μεν, καθορισμένη δε γωνία, θα φτιάξουμε δύο νέα ευθύγραμμα τμήματα. Τα οποία θα έχουν το μισό μήκος και το μισό πάχος του αρχικού. Ή ίσως κάποιο οποιοδήποτε κλάσμα του αρχικού τμήματος.
Και θα συνεχίσουμε τη διαδικασία και πάλι επ΄ άπειρον, δημιουργώντας κάτι τέτοιο:
Έχει πολλά ενδιαφέροντα στοιχεία το παραπάνω σχήμα που δεν είναι της ώρα να τα εξετάσουμε. Αλλά αν θέλουμε να του προσδόσουμε λίγο παραπάνω ρεαλισμό, θα αλλάξουμε κάποιες από τις αρχικές μας συνθήκες σχεδίασης. Όπως για παράδειγμα, η γωνία που θα δημιουργούν οι διακλαδώσεις να μην είναι καθορισμένη αλλά να αλλάζει με τυχαίο τρόπο κάθε φορά. Τότε θα έχουμε ένα αποτέλεσμα σαν κι αυτό:
Είναι ωραίο να βλέπεις πως η φύση μιμείται τη φράκταλ γεωμετρία:
Ή πως τα φράκταλ προσπαθούν να μιμηθούν τη φύση.
Ή ίσως, πως τα μαθηματικά μας μοντέλα καταφέρνουν σε ένα βαθμό να τη προσομοιάσουν. Υπάρχει εξ΄ άλλου αρκετός ελεύθερος χώρος ώστε ο καθένας να μπορεί να βάλει τη δική του οπτική.
Οι κόσμοι του Escher
Εδώ τα πράγματα είναι λίγο πιο πολύπλοκα. Την ακριβή διαδικασία δεν θα τη περιγράψουμε, απλά θα τη σκιαγραφήσουμε.
Στο εσωτερικό ενός κύκλου θα σχεδιάσουμε πέντε κυκλικά τόξα ίσου μήκους που τέμνονται μεταξύ τους. Συνεχίζουμε φτιάχνοντας όλο και περισσότερα τόξα μικρότερης ακτίνας δημιουργώντας τελικά κάτι σαν κι αυτό:
Μπορούμε να γράψουμε ολόκληρο άρθρο για τους κόσμους που δημιουργεί το παραπάνω σχήμα. Όπως για παράδειγμα για την εικόνα που δείχνει για ένα άπειρο σύμπαν περιορισμένο στο χώρο, κάτι που θέλει εκτεταμένη ανάλυση. Ας περιοριστούμε να πούμε ότι παρόμοια τεχνική χρησιμοποιούσε συχνά ο M.C.Escher για να δημιουργήσει τους δικούς του κόσμους επαναλαμβανόμενων μοτίβων υπό αλλαγής κλίμακας:
Εδώ μπορούμε να δούμε το χάος και τη τάξη, το γιν και το γιαν, το καλό και το κακό να μπλέκονται σε ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο που επεκτείνεται σε ολόκληρο το σύμπαν.
Αλλά όπως είπαμε και πριν, τα φράκταλ ξεκίνησαν όχι ως αυτόνομη γεωμετρία. Ξεκίνησαν με την οπτικοποίηση κάποιων πολύ απλών εξισώσεων που περιέγραφαν διάφορα φυσικά μοντέλα. Αρχικά η όποια περιγραφή δεν θα μπορούσε να είναι παρά μόνο μαθηματική. Ώσπου στο τέλος της δεκαετίας του ’70 και με την έλευση των υπολογιστών, ο κόσμος ήταν έτοιμος να δημιουργήσει έναν νέο θαυμαστό κόσμο.
Το σύνολο Mandelbrot
Πάρτε έναν οποιονδήποτε αριθμό και υψώστε τον στο τετράγωνο.
Το αποτέλεσμα της πράξης υψώστε το κι αυτό στο τετράγωνο, και συνεχίστε τη διαδικασία. Μαθηματικά, αυτό που έχετε μόλις κάνει είναι να έχετε βρει μερικούς όρους της ακολουθίας
αν+1=αν2
με α1 τον οποιοδήποτε αριθμό έχετε επιλέξει εσείς για να ξεκινήσετε. Για παράδειγμα αν ξεκινήσουμε με τον αριθμό 5, η πρώτη πράξη θα δώσει ως αποτέλεσμα το 125, η αμέσως επόμενη το 15.625. Υψώνοντας και πάλι στο τετράγωνο έχουμε τον 1.953.125 κ.ο.κ.
Ένα βιαστικό συμπέρασμα είναι πως οι όροι αυτής της ακολουθίας, τα αποτελέσματα αυτών των διαδοχικών υψώσεων στο τετράγωνο, γίνονται ολοένα και πιο μεγάλα. Με μαθηματικούς όρους η ακολουθία αυτή συγκλίνει στο άπειρο. Σίγουρα θα ήταν βιαστικό το συμπέρασμα: παρατηρήστε ότι ξεκινώντας με έναν αριθμό ανάμεσα στο -1 και στο 1, τα αποτελέσματα γίνονται όλο και μικρότερα. Ή, η ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν.
Δύο διαστάσεις
Θα κάνουμε τώρα την ίδια διαδικασία χρησιμοποιώντας μιγαδικούς αριθμούς. Αν δεν ξέρετε τι είναι αυτό, ξεχάστε ότι το διαβάσατε. Θα το δούμε διαφορετικά.
Στα μαθηματικά είναι δυνατόν να γίνουν πράξεις όχι μόνο μεταξύ αριθμών, αλλά μεταξύ και ζευγών αριθμών. Μπορείτε να φανταστείτε συντεταγμένες για παράδειγμα, όπως τα ζεύγη (2, 3) και (-1, 4), μεταξύ των οποίων μπορούν να γίνουν οι γνωστές πράξεις.
Η πρόσθεση και η αφαίρεση ακολουθούν τους κανόνες που φανταζόμαστε. Το άθροισμα για παράδειγμα των ζευγών (α, β) κ΄ (γ, δ) δίνει το αποτέλεσμα (α+γ, β+δ), ο δε πολλαπλασιασμός όμως είναι διαφορετικός. Χωρίς να μας ενδιαφέρει το γιατί, το γινόμενο των δύο παραπάνω ζευγών δίνει το αποτέλεσμα (αγ-βδ, αδ+βγ).
Τι κάνουμε τώρα.
Θα πάρουμε ένα οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών. Θα το υψώσουμε στο τετράγωνο, και το αποτέλεσμα θα το υψώσουμε κι αυτό στο τετράγωνο κ.ο.κ. Με άλλα λόγια θα βρούμε τους όρους της ακολουθίας
αν+1=αν2
αλλά για ζεύγη πλέον αριθμών. Όπως και με τους απλούς αριθμούς, θα παρατηρήσουμε ότι για κάποια ζεύγη το αποτέλεσμα γίνεται όλο και μεγαλύτερο. Για κάποια άλλα το αποτέλεσμα γίνεται όλο και πιο μικρό και συγκλίνει προς το μηδέν. Ενώ τέλος, υπάρχουν κάποια ζεύγη αριθμών (στο εξής τα ζεύγη αριθμών θα τα αποκαλούμε αριθμούς) για τα οποία η διαδοχική ύψωση στο τετράγωνο συγκλίνει και πάλι, αλλά σε κάποιον από τους αριθμούς 1 ή -1 αυτή τη φορά.
Κι εδώ αρχίζει το ωραίο: θα οπτικοποιήσουμε τα παραπάνω αποτελέσματα.
Θα σχεδιάσουμε σε ένα σύστημα αξόνων με μαύρο χρώμα όλους τους αριθμούς που η παραπάνω επανάληψη συγκλίνει (είτε στο 0 είτε στα 1, -1). Και με λευκό αυτούς που η επανάληψη μεγαλώνει και τείνει στο άπειρο.
Θα έχουμε το παρακάτω σχήμα:
Το σύνορο του παραπάνω σχήματος είναι σαφές. Αποτελεί τη περιφέρεια του κύκλου και δείχνει τους αριθμούς που η διαδοχική ύψωση συγκλίνει σε κάποιον από τους -1, 1.
Μια μικρή προσθήκη
Κάτι που δεν είναι ιδιαίτερα γνωστό είναι πως, πολύ πριν από τον Mandelbrot, ο μαθηματικός Gaston Julia ήταν ο πρώτος που μελέτησε τις ακολουθίες που θα περιγράψουμε. Και η προσθήκη που πρότεινε στη παραπάνω διαδικασία ήταν η εξής.
Αντί να υψώνουμε διαδοχικά τον αριθμό στο τετράγωνο, θα τον υψώνουμε και θα προσθέτουμε έναν αριθμό c. Το αποτέλεσμα θα το υψώνουμε στο τετράγωνο και θα προσθέτουμε τον c, και θα συνεχίζουμε με αυτό το τρόπο τη διαδικασία. Η ακολουθία μας πλέον έχει την εξίσωση
zν+1=zν2 +c,
όπου z ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός – ή καλύτερα, ένα ζεύγος αριθμών.
Στο προηγούμενο παράδειγμα ο κύκλος προέκυψε όταν στη τελευταία εξίσωση το c ήταν στην ουσία ίσο με 0. Τώρα, ανάλογα με τη τιμή του c που θα επιλέξουμε και οπτικοποιώντας με τον ίδιο τρόπο τη διαδικασία, θα δούμε ότι το σύνορο του παραπάνω σχήματος παύει να είναι κύκλος. Ανάλογα τη τιμή του c, το σχήμα μας μπορεί να πάρει οποιαδήποτε χαώδη μορφή:
Κάποιες φορές οι περιοχές που συγκλίνουν είναι θύλακες ξεχωριστοί μεταξύ τους, κάποιες άλλες αποτελούν ένα συνεκτικό σύνολο με ακαθόριστο όριο – και αυτό το τελευταίο θα το αναλύσουμε παρακάτω.
Ο Mandlbront συνέχισε ως εξής. Αντί να δημιουργεί διάφορες απεικονίσεις όπως αυτή του παραπάνω κύκλου για τις διάφορες τιμές του c, έκανε δύο αλλαγές.
Αρχικά ξεκινούσε πάντα τις επαναλήψεις του με τον αριθμό z1=0. Κι έπειτα, απεικόνισε με μαύρο χρώμα τις τιμές του c για τις οποίες οι επαναλήψεις συγκλίνουν κάπου, και με λευκό αυτές που το αποτέλεσμα μεγαλώνει επ΄ άπειρον.
Είμαστε στο 1979, και στα εργαστήρια της IBM που εργαζόταν δεν υπήρχαν ακόμη οθόνες. Οι προγραμματιστές στους οποίους ζητούσε να επεξεργάζονται τα αποτελέσματά του μπορούσαν μόνο να εκτυπώνουν τις παραπάνω συνθήκες, και η πρώτη εκτύπωση που του έδωσαν για την οπτικοποίηση του c ήταν η παρακάτω:
Όταν το c βρισκόταν σε κάποια από τις μαύρες περιοχές η επανάληψη της διαδικασίας συνέκλινε προς κάποιον αριθμό. Όταν βρισκόταν στις λευκές η διαδικασία οδηγούσε προς το άπειρο.
Ενώ σε όσον αφορά το σύνορο μεταξύ λευκών και μαύρων περιοχών, εκεί επικρατούσε χάος.
Οπτικές βελτιώσεις
Με τον καιρό οι υπολογιστές βελτιώθηκαν. Προγράμματα πρόσθεσαν περισσότερα χρώματα, για παράδειγμα στη λευκή περιοχή όπου απεικονίζονται οι τιμές του c που οδηγούν προς το άπειρο, δόθηκαν διαβαθμίσεις. Χρωματίζονταν με σκούρο γκρι χρώμα οι περιοχές που η ταχύτητα προς το άπειρο ήταν μεγάλη, και σταδιακά με όλο και πιο ανοικτό γκρι ώσπου να φτάσει στο άσπρο, οι περιοχές που η ταχύτητα προς το άπειρο ήταν όλο και μικρότερη.
Σε κάποιο πρόγραμμα που μπορούμε να βρούμε στο ίντερνετ, οι περιοχές αυτές είναι με μπλε και αλλάζουν προς το λευκό όσο η ταχύτητα σύγκλισης προς το άπειρο μειώνεται. Και μπορούμε να έχουμε τη δική μας οπτική σύγκλισης για τις διάφορες τιμές του c:
(στο βίντεο, η κόκκινη κουκίδα αφορά τη τυχαία τιμή του c. Οι κίτρινες κουκίδες δείχνουν τα διαδοχικά αποτελέσματα της πράξης z2+c, όπου ως αρχική τιμή έχουμε πάντα τη z=0)
Όσο ο κένσορας του ποντικιού βρίσκεται στη μαύρη περιοχή μπορούμε να δούμε προς τα που συγκλίνει η ακολουθία μας. Ενώ όταν περνάει στη μπλε περιοχή οι διαδοχικές πράξεις δίνουν αριθμούς που μεγαλώνουν προς το άπειρο. Παρατηρείστε επίσης ότι για πολλές τιμές του c στη μαύρη περιοχή η σύγκλιση γίνεται μεταξύ δύο διαφορετικών σημείων.
Η μαγεία όμως δεν βρίσκεται στο σχήμα που προκύπτει. Θυμηθείτε την αρχική μας απεικόνιση, τον κύκλο που είδαμε παραπάνω. Το σύνορό του ήταν σαφώς καθορισμένο. Σε αντίθεση, το σύνορο του συνόλου που εξετάζουμε έχει τη φράκταλ δομή που έκαναν τα σχήματα αυτά διάσημα στο ευρύτερο κοινό.
Αντέχετε για μια βουτιά στο σύνορο του απείρου; Το παραπάνω σύνολο αποδεικνύεται ότι είναι συνεκτικό, δηλαδή ότι όλες οι μαύρες περιοχές που εμφανίζονται δεν είναι ανεξάρτητοι θύλακες αλλά συνδέονται μεταξύ τους. Παρ΄ όλα αυτά, μια επ΄ άπειρον βουτιά δεν μας αφήνει να δούμε ποτέ την όποια γραμμή σύνδεσης.
Κάντε μια βουτιά σε ένα από αυτά τα σύνορα. Δείτε την αυτοομοιότητα που εμφανίζεται συνεχώς σε όποια αλλαγή κλίμακας κι αν κάνουμε. Και για όσο αντέξετε, απολαύστε το μαγικό κόσμο που ξεδιπλώνεται μέσω της απλής αυτής εξίσωσης.
Επίλογος 1
Τα φράκταλ δημιουργήθηκαν ή ανακαλύφθηκαν; Το σύνολο Mandelbrot προϋπήρχε “κάπου” στο σύμπαν, όπως υπάρχουν και οι ίδιοι οι αριθμοί και τα μαθηματικά, ή δεν είναι παρά ένα ανθρώπινο δημιούργημα που η γέννησή του έγινε κατά τη πρώτη του εκτύπωση;
Συχνά ακούγεται ότι σε έναν καμβά υπάρχουν όλες οι γραμμές και όλα τα χρώματα του κόσμου. Και πως αυτό που κάνει ο καλλιτέχνης είναι να ανακαλύπτει τη σειρά που θα δώσουν την εικόνα στον καμβά. Με αυτή την έννοια η τέχνη δεν είναι δημιουργία, αλλά ανακάλυψη, ο δε καλλιτέχνης δεν είναι δημιουργός αλλά εξερευνητής.
Και η συζήτηση επεκτείνεται στο χώρο των μαθηματικών και της επιστήμης. Τα μαθηματικά υπάρχουν ή είναι ανθρώπινη δημιουργία; Ανακαλύπτουμε ένα θεώρημα ή ένα μαθηματικό μοντέλο, ή το κατασκευάζουμε, το δημιουργούμε;
Η δική μου θέση είναι σαφέστατη ως προς αυτό, θα αφήσω όμως χώρο κι εδώ για την οπτική του καθενός. Και θα προχωρήσω προς το κλείσιμο του άρθρου.
Επίλογος 2
Μπορούμε κάλλιστα να αμφισβητήσουμε το κατά πόσο το λεγόμενο σύνολο Mandelbrot που είδαμε παραπάνω είναι πράγματι έμπνευση του ίδιου του Mandelbrot ή αποτελεί δουλειά άλλων, με τη συνεισφορά του τελευταίου να είναι ότι το έκανε γνωστό στο ευρύ κοινό. Αυτό που είναι σίγουρο είναι πως ο ίδιος, έως το τέλος της ζωής του, ήταν περήφανος τόσο για τα σύνολα αυτά όσο και για τη συνεισφορά του. Και αν μη τι άλλο είναι συγκινητικό να τον παρακολουθείς να μιλάει γι΄ αυτά.
Η παρακάτω συνέντευξη δόθηκε 19 ημέρες πριν την αποχώρησή του από αυτό το κόσμο και την αρχή του ταξιδιού του προς κάποιες άλλες φράκταλ διαστάσεις.
