Η συσκευή στην οποία διαβάζετε αυτό το άρθρο στηρίζεται στο δυαδικό σύστημα· σειρές από 0 και 1. Τα σύγχρονα ηλεκτρονικά δεν θα υπήρχαν χωρίς το μηδέν. Χωρίς αυτό, δεν υπάρχει μαθηματικός λογισμός, άρα ούτε σύγχρονη επιστήμη, ούτε σύγχρονη μηχανική, ούτε αυτοματισμοί, ούτε, ούτε… Χωρίς το μηδέν, μεγάλο μέρος του σύγχρονου κόσμου μας κυριολεκτικά θα κατέρρεε!
Η ανακάλυψη του μηδενός από την ανθρωπότητα «άλλαξε πλήρως τα δεδομένα… κάτι ισοδύναμο με το να μάθουμε να μιλάμε», λέει ο Andreas Nieder, γνωσιακός επιστήμονας στο Πανεπιστήμιο του Tübingen της Γερμανίας.
Κατά το μεγαλύτερο, όμως, μέρος της ιστορίας, οι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονταν τον αριθμό μηδέν. Δεν είναι κάτι έμφυτο σε μας. Έπρεπε να το επινοήσουμε. Και είναι κάτι που πρέπει να το διδάσκουμε στην επόμενη γενιά.
Άλλα ζώα -όπως οι πίθηκοι- έχουν εξελιχθεί έτσι ώστε να μπορούν να κατανοήσουν την στοιχειώδη έννοια του “τίποτα”. Και όπως αναφέρουν οι επιστήμονες, ακόμη και οι μικροσκοπικοί εγκέφαλοι των μελισσών μπορούν να συγκρίνουν το “τίποτα”. Όμως, μόνο οι άνθρωποι κατάφεραν να συλλάβουν την έννοια του αριθμού μηδέν, κάνοντάς το ένα χρήσιμο εργαλείο.
Ας μην θεωρούμε, λοιπόν, το μηδέν ως δεδομένο. Το “τίποτα” είναι συναρπαστικό. Να γιατί.
Τι είναι το μηδέν, τέλος πάντων;
Η κατανόησή μας για το μηδέν είναι κάτι το βαθυστόχαστο, αν σκεφτούμε το εξής: Το μηδέν δεν το συναντάμε συχνά -ή μάλλον ποτέ- στη φύση.
Οι αριθμοί 1, 2, 3… αντιστοιχούν σε κάτι. Για παράδειγμα, μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα φως που αναβοσβήνει. Ή μπορούμε να ακούσουμε δύο χτυπήματα στην πόρτα του σπιτιού μας. Αλλά μηδέν; Αυτό απαιτεί να αναγνωρίσουμε ότι η απουσία πραγμάτων αποτελεί κάτι, από μόνη της.
«Το μηδέν βρίσκεται στο μυαλό, όχι όμως στον αισθητηριακό κόσμο», λέει ο Robert Kaplan, καθηγητής μαθηματικών στο Χάρβαρντ και συγγραφέας ενός βιβλίου για το μηδέν. Ακόμη και στο κενό του διαστήματος, εφόσον μπορείτε να δείτε αστέρια, σημαίνει ότι “λούζεστε” από την ηλεκτρομαγνητική τους ακτινοβολία. Ακόμα και στο πιο σκοτεινό κενό, πάντα υπάρχει κάτι. Το αληθινό μηδέν -δηλαδή το απόλυτο τίποτα- ίσως να υπήρχε την εποχή πριν από τη Μεγάλη Έκρηξη. Αλλά αυτό δεν μπορούμε να το γνωρίζουμε.
Ωστόσο, το μηδέν δεν χρειάζεται να υπάρχει για να είναι χρήσιμο. Στην πραγματικότητα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του μηδενός για να εξαγάγουμε όλους τους άλλους αριθμούς.
Ο Kaplan μας καθοδηγεί σε μια νοητική άσκηση, που περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον μαθηματικό John von Neumann:
Φανταστείτε ένα κουτί που δεν περιέχει τίποτα. Οι μαθηματικοί αποκαλούν αυτό το άδειο κουτί “κενό σύνολο”. Αποτελεί μια φυσική αναπαράσταση του μηδενός. Τι υπάρχει μέσα στο άδειο κουτί; Τίποτα.
Πάρτε, τώρα, ένα άλλο άδειο κουτί και τοποθετήστε το μέσα στο πρώτο.
Πόσα πράγματα υπάρχουν στο πρώτο κουτί τώρα;
Υπάρχει ένα αντικείμενο. Στη συνέχεια, βάλτε ένα άλλο άδειο κουτί μέσα στα δύο πρώτα. Πόσα αντικείμενα περιέχει τώρα; Δύο. Με αυτόν τον τρόπο «εξάγουμε όλους τους αριθμούς από το μηδέν … από το τίποτα», λέει ο Kaplan. Αυτή είναι η βάση του αριθμητικού μας συστήματος. Το μηδέν είναι ταυτόχρονα και μια αφηρημένη έννοια και μια πραγματικότητα. «Είναι το τίποτα που υπάρχει», όπως εξηγεί ο Kaplan.
Στη συνέχεια το θέτει με πιο ποιητικούς όρους. «Το μηδέν είναι ο μακρινός ορίζοντας που βλέπουμε στους πίνακες ζωγραφικής», λέει. «Ενοποιεί ολόκληρη την εικόνα. Αν κοιτάξεις το μηδέν δεν βλέπεις τίποτα. Αλλά αν κοιτάξεις μέσα από το μηδέν, βλέπεις τον κόσμο. Είναι ο ορίζοντας.»
Από την στιγμή που αποκτήσαμε το μηδέν, μπορούσαμε να έχουμε και τους αρνητικούς αριθμούς. Το μηδέν μάς βοηθά να κατανοήσουμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα μαθηματικά για να σκεφτούμε πράγματα που δεν αντιστοιχούν σε φυσική εμπειρία· οι φανταστικοί αριθμοί δεν υπάρχουν, αλλά είναι σημαντικοί για την κατανόηση και την περιγραφή του ηλεκτρισμού. Το μηδέν μας βοηθά επίσης να κατανοήσουμε το επίσης αφηρημένο -αλλά και ταυτόχρονα υπαρκτό- άπειρο.
Γιατί το μηδέν είναι τόσο χρήσιμο στα μαθηματικά
Το μηδέν έχει διπλό ρόλο, σήμερα, στα μαθηματικά. Πρώτος ρόλος: Αποτελεί ψηφίο κράτησης θέσης στο αριθμητικό μας σύστημα. Δεύτερος ρόλος: Είναι ένας χρήσιμος αριθμός από μόνος του.
Οι πρώτες χρήσεις του μηδέν στην ανθρώπινη ιστορία εντοπίζονται πριν από περίπου 5.000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία. Εκεί, χρησιμοποιήθηκε για να αναπαραστήσει την απουσία ψηφίου σε μια σειρά αριθμών.
Ας δούμε ένα παράδειγμα: Σκεφτείτε τον αριθμό 103. Το μηδέν σε αυτήν την περίπτωση σημαίνει “δεν υπάρχει τίποτα στη στήλη των δεκάδων”. Είναι ένα σύμβολο κράτησης θέσης, που μας βοηθά να καταλάβουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι το 103 και όχι το 13.
Εντάξει, ίσως να σκέφτεστε, “αυτό είναι βασικό”. Οι αρχαίοι Ρωμαίοι, όμως, δεν το γνώριζαν. Ας θυμηθούμε πως αναπαριστούσαν τους τους αριθμούς. Το 103 σε λατινικούς αριθμούς είναι CIII. Επίσης, ο αριθμός 99 γράφεται ως XCIX. Προσπαθήστε να κάνετε την πρόσθεση: CIII + XCIX. Φαίνεται παράλογο, έτσι; Είναι το θεσιακό σύστημα, αυτό που μας επιτρέπει να προσθέτουμε, να αφαιρούμε και να χειριζόμαστε εύκολα αριθμούς. Που μας επιτρέπει να επεξεργαστούμε πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα σε ένα φύλλο χαρτιού.
Το μηδέν, ακόμη και να είχε παραμείνει απλώς ένα ψηφίο κράτησης θέσης, θα αποτελούσε από μόνο του ένα σημαντικό εργαλείο. Όμως, πριν από 1.500 χρόνια (ή ίσως και νωρίτερα), στην Ινδία, το μηδέν έγινε αριθμός· ένας αριθμός που σημαίνει τίποτα.
Τον έβδομο αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός Brahmagupta έγραψε αυτό που αναγνωρίζεται σήμερα ως η πρώτη γραπτή περιγραφή του μηδέν ως αριθμού:
Όταν το μηδέν προστίθεται σε έναν αριθμό ή αφαιρείται από έναν αριθμό, ο αριθμός παραμένει αμετάβλητος· και ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος με το μηδέν γίνεται μηδέν.
Το μηδέν εξαπλώθηκε σιγά-σιγά στη Μέση Ανατολή πριν φτάσει στην Ευρώπη, και στο μυαλό του μαθηματικού Fibonacci το 1200, ο οποίος κατέστησε δημοφιλές το “αραβικό” σύστημα αριθμών που όλοι χρησιμοποιούμε σήμερα.
Από εκεί και πέρα, αρχίσαμε να το αξιοποιούμε όλο και περισσότερο. Θυμηθείτε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να χαράξουμε την γραφική παράσταση μίας συνάρτησης· η αρχή των αξόνων ταυτίζεται με το σημείο (0,0). Αυτή η πανταχού παρούσα μέθοδος γραφικής παράστασης επινοήθηκε για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα μετά την εξάπλωση του μηδέν στην Ευρώπη. Τον ίδιο αιώνα, επίσης, αναδύθηκε ένα εντελώς νέο πεδίο μαθηματικών που εξαρτάται από το μηδέν: ο Λογισμός.
Ίσως θυμάστε από τα σχολικά μαθηματικά την έννοια της παραγώγου σε κάποιο σημείο μίας συνάρτησης. Η παράγωγος, αυτή, εκφράζει την κλίση της ευθείας που εφάπτεται στην συνάρτηση σε αυτό το σημείο.
Ο Λογισμός, με θεμελιωτές τους Newton και Leibniz, υπολογίζει αυτή την κλίση μέσω ενός κλάσματος, του οποίου ο παρονομαστής πλησιάζει όλο και περισσότερο -αλλά χωρίς ποτέ να φτάνει- τον αριθμό μηδέν.
«Όλες οι άπειρες διαδικασίες [στα μαθηματικά] περιστρέφονται γύρω από την έννοια του μηδενός», εξηγεί ο Robert Kaplan.
Γιατί το μηδέν αποτελεί βαθυστόχαστη ιδέα;
Δεν γεννιόμαστε με έμφυτη την κατανόηση του μηδέν. Πρέπει να το μάθουμε και αυτό απαιτεί χρόνο.
Η Elizabeth Brannon, νευροεπιστήμονας στο Πανεπιστήμιο Duke, μελετά το πώς οι άνθρωποι -αλλά και τα ζώα- αναπαριστούν τους αριθμούς στο μυαλό τους. Η ίδια εξηγεί, ότι τα παιδιά κάτω των 6 ετών, ακόμη και όταν καταλαβαίνουν ότι η λέξη «μηδέν» σημαίνει «τίποτα», εξακολουθούν να δυσκολεύονται στην αριθμητική που κρύβεται πίσω από αυτό. «Όταν ρωτάτε [ένα παιδί] ποιος αριθμός είναι μικρότερος, το 0 ή το 1, συχνά θεωρούν πως αυτός είναι το 1», λέει. «Είναι δύσκολο να μάθεις ότι το μηδέν είναι μικρότερο από το ένα».
Στα πειράματα που διεξάγει η Brannon παίζει ένα παιχνίδι με παιδιά στην ηλικία των 4 ετών. Τους δείχνει ζευγάρια από κάρτες, με έναν αριθμό αντικειμένων επάνω σε καθεμία από αυτές. Για παράδειγμα, η μία κάρτα μπορεί να έχει δύο τελείες και η άλλη να έχει τρεις.
Στην συνέχεια, ζητάει από τα παιδιά να διαλέξουν την κάρτα με τον μικρότερο αριθμό αντικειμένων. Όταν ο συνδυασμός αφορά τις τιμές 0 και 1, (μία κάρτα χωρίς κανένα αντικείμενο και μία κάρτα με ένα μόνο αντικείμενο), είναι λιγότερα από τα μισά παιδιά αυτά που βρίσκουν την σωστή απάντηση.
Ποιά είναι, λοιπόν, αυτά που οδηγούν στην κατανόηση;
Ο Andreas Nieder διακρίνει τέσσερα βήματα στον δρόμο για την κατανόηση του μηδέν· με το κάθε βήμα να είναι πιο περίπλοκο, γνωσιακά, από το προηγούμενο.
Αρκετά ζώα είναι σε θέση να κάνουν τα τρία πρώτα βήματα. Όμως το τελευταίο στάδιο -το πιο δύσκολο- «είναι αποκλειστικά για εμάς τους ανθρώπους», όπως λέει ο ίδιος.
Το πρώτο αφορά την απλή αισθητηριακή εμπειρία του ερεθίσματος που “έρχεται και φεύγει”. Η απλή δυνατότητα, δηλαδή, να παρατηρήσουμε μία φωτεινή πηγή που αναβοσβήνει ή να προσέξουμε έναν ήχο που σταματά και στη συνέχεια επανέρχεται.
Το δεύτερο βήμα έχει να κάνει με την συμπεριφορική κατανόηση. Σε αυτό, τα ζώα όχι μόνο αναγνωρίζουν την έλλειψη ενός ερεθίσματος αλλά, επιπλέον, μπορούν να αντιδράσουν σε αυτήν. Όταν, για παράδειγμα, έχει τελειώσει το φαγητό, γνωρίζουν πως πρέπει να βγουν και να ψάξουν.
Το τρίτο στάδιο είναι η αναγνώριση ότι το μηδέν, ή ένα άδειο δοχείο, αποτελεί τιμή μικρότερη του 1. Αυτό είναι κάπως δύσκολο, αν και ένας εκπληκτικός αριθμός ζώων, συμπεριλαμβανομένων των μελισσών και των πιθήκων, μπορεί να αναγνωρίσει αυτό το γεγονός. Αφορά την κατανόηση πως «το τίποτα κατατάσσεται ποσοτικώς», εξηγεί ο Nieder.
Το τελευταίο βήμα είναι το να αντιμετωπίσουμε την απουσία ενός ερεθίσματος ως σύμβολο και ως λογικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων. Αυτό -όπως γνωρίζουμε- μπορούν να το κάνουν μόνο οι άνθρωποι.
Όμως, ακόμη και οι άνθρωποι μπερδεύονται λίγο παραπάνω, όταν σκέφτονται το μηδέν. Μελέτες έδειξαν ότι, σε σύγκριση με άλλους αριθμούς, χρειαζόμαστε περισσότερο χρόνο για να αναγνωρίσουμε τον αριθμό μηδέν. Και όταν το πείραμα της Brannon (με τις κάρτες) επαναλαμβάνεται με ενήλικες, αυτοί χρειάζονται περισσότερο χρόνο για να συγκρίνουν το μηδέν με το ένα, παρά για συγκρίνουν το μηδέν με έναν μεγαλύτερο αριθμό.
Αυτό υποδηλώνει ότι ακόμη και για τους ενήλικες, η επεξεργασία του μηδενός απαιτεί επιπλέον προσπάθεια.
Ποιοί άλλοι μπορούν να καταλάβουν το “τίποτα”;
Μπορεί να μην έχουμε γεννηθεί με την ικανότητα να κατανοούμε το μηδέν, η δυνατότητα που έχουμε όμως “να το μάθουμε” ίσως έχει βαθιές εξελικτικές ρίζες.
Το τέταρτο βήμα στην αντίληψη του μηδέν -δηλαδή το 0 ως σύμβολο- μπορεί να αφορά αποκλειστικά εμάς, τους ανθρώπους. Υπάρχει, όμώς, ένας εκπληκτικός αριθμός ζώων που μπορούν να φτάσουν στο τρίτο βήμα: να αναγνωρίσουν ότι το μηδέν είναι μικρότερο από το ένα.
Ακόμη και οι μέλισσες μπορούν να το κάνουν.
Η Scarlett Howard από το “Royal Melbourne Institute of Technology”, έχει δημοσιεύσει στο περιοδικό “Science” τα αποτελέσματα ενός πειράματος, το οποίο μοιάζει αρκετά με αυτό της Brannon με τα παιδιά. Μόνο που αφορά… μέλισσες. Αυτές, λοιπόν, επιλέγουν την κάρτα που είναι κενή στο 60-70 τοις εκατό των περιπτώσεων. Και είναι πολύ καλύτερες στο να διακρίνουν έναν μεγάλο αριθμό -όπως το έξι- από το μηδέν, παρά στη διάκριση του ενός από το μηδέν. Ακριβώς όπως τα παιδιά!
Αυτό είναι εντυπωσιακό, λαμβάνοντας υπόψη ότι «διαθέτουμε αυτόν τον μεγάλο εγκέφαλο θηλαστικού, ενώ οι μέλισσες έχουν έναν εγκέφαλο τόσο μικρό που ζυγίζει λιγότερο από ένα χιλιοστόγραμμο», λέει η Howard. Η ερευνητική της ομάδα ελπίζει να να μπορέσει να κατανοήσει το πώς οι μέλισσες εκτελούν αυτούς τους υπολογισμούς στο μυαλό τους, με στόχο μια μέρα να χρησιμοποιήσουν αυτές τις ιδέες για να δημιουργήσουν πιο αποτελεσματικούς υπολογιστές.
Σε παρόμοια πειράματα, ερευνητές έχουν δείξει ότι οι πίθηκοι είναι σε θέση να αναγνωρίσουν το κενό σύνολο (και συχνά είναι καλύτεροι σε αυτό από τους ανθρώπους των 4 ετών). Όμως, το γεγονός ότι οι μέλισσες μπορούν να το κάνουν είναι εκπληκτικό, αν λάβουμε υπόψη το υπόψη πόσο μακριά μας βρίσκονται εξελικτικώς. «Ο τελευταίος κοινός πρόγονος των ανθρώπων και των μελισσών έζησε πριν από περίπου 600 εκατομμύρια χρόνια, κάτι που σε εξελικτικό χρόνο αποτελεί μια αιωνιότητα», δηλώνει ο Nieder.
Εμείς οι άνθρωποι αντιληφθήκαμε το μηδέν ως αριθμό μόλις πριν από 1.500 χρόνια. Αυτό που μας δείχνουν τα πειράματα σε μέλισσες και πιθήκους είναι ότι δεν αποτελεί, μόνο, έργο της εφευρετικότητάς μας. Αποτελεί, επίσης, και ένα από τα κορυφαία έργα της εξέλιξης.
Υπάρχουν ακόμα μεγάλα μυστήρια που καλύπτουν το μηδέν. Πρώτον, όπως λέει ο Nieder «δεν γνωρίζουμε σχεδόν τίποτα» για τον τρόπο που το επεξεργάζεται ο εγκέφαλός μας. Δεν γνωρίζουμε, επίσης, πόσα ζώα μπορούν να κατανοήσουν την ιδέα του “τίποτα”, ως ποσότητα.
Αυτό, όμως, που μας δείχνουν ξεκάθαρα τα μαθηματικά, είναι πως όταν ερευνούμε το τίποτα, είναι βέβαιο ότι θα βρούμε κάτι.
Πηγή: https://www.vox.com/
