Πόσο μακριά μπορούμε να δούμε επάνω στη Γη;

Ας ξεκαθαρίσουμε κάτι από την αρχή. Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να πάρουμε μία ιδέα για τους περιορισμούς που μας βάζει η καμπυλότητα της Γης, σχετικά με τα μακρινά αντικείμενα που μπορούμε να δούμε. Σκοπός μας δεν είναι να καταλήξουμε σε μία μαθηματική σχέση, η οποία να μας δίνει κάθε φορά με ακρίβεια την οριακή απόσταση, πέρα από την οποία ένα αντικείμενο κρύβεται πίσω από τον ορίζοντα. Σε τι θα μετρούσαμε, άλλωστε; Σε μέτρα; Σε εκατοστά; Σε χιλιοστά; Έχει, άραγε, νόημα;

Και σε τι μέγεθος αντικειμένου θα αναφερόμασταν; Μεγάλο όσο ένα κρουαζιερόπλοιο, μικρό όσο μια βάρκα ή σημειακό όπως μία πηγή laser; Όχι, στο παρόν άρθρο δεν στοχεύουμε σε μία ακρίβεια που στερείται νοήματος, ιδίως όταν μιλάμε για ανθρώπινο μάτι, καιρικά φαινόμενα και αντικείμενα με διαστάσεις. Απλά θέλουμε να πάρουμε μία ιδέα για το πως επηρεάζει το που φτάνει η ματιά μας, το γεγονός ότι η Γη είναι μία σφαίρα. Γιατί, εδώ που τα λέμε, ούτε τέλεια σφαίρα είναι. Παρότι η απόκλιση είναι μικρή, η ακτίνα της Γης είναι μεγαλύτερη στον ισημερινό, απ’ ότι στους πόλους. Και ας μην ξεχνάμε πως υπάρχει και η διάθλαση από την ατμόσφαιρα, η οποία προεκτείνει τον ορατό μας ορίζοντα, ανάλογα με τις ατμοσφαιρικές συνθήκες που επικρατούν.

Ας ξεχάσουμε, λοιπόν, όλα αυτά -τα οποία θα μπορούσαν να εφαρμοστούν ανά περίπτωση- και ας δούμε την γενική εικόνα. Το γιατί, για παράδειγμα, ένα πλοίο εξαφανίζεται -σταδιακά- από το οπτικό μας πεδίο, καθώς απομακρύνεται. Σε πόση απόσταση θα αρχίσει να συμβαίνει αυτό, και πως μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο μακριά μας βρίσκεται όταν “χάνεται” εντελώς, εάν γνωρίζουμε το ύψος του. Ή να βρούμε πόσο, από το κάτω μέρος μίας πόλης στην απέναντι όχθη, είναι κρυμμένο από εμάς.

Για να μην τα κάνουμε πολύπλοκα τα πράγματα, λοιπόν, θα ασχοληθούμε με το τι ισχύει σε μία τέλεια σφαίρα, που η ακτίνα της είναι ίση με αυτήν της Γης (ας δεχτούμε την τιμή 6.400 χιλιόμετρα). Τα μεγάλα σώματα νερού, όπως η θάλασσα ή μία μεγάλη λίμνη, ακολουθούν την καμπυλότητα της Γης, χωρίς να εμφανίζουν “βουνά” ή “κοιλίες”. Οπότε μας κάνουν· θα ασχοληθούμε με αυτά, μετρώντας το ύψος από την επιφάνειά τους (κάτι που, άλλωστε, χρησιμοποιούμε ευρέως). Δεν θα λάβουμε υπ’ όψη διαφορές στο ύψος, όπως π.χ. συμβαίνει κατά την παλλίροια. Τέλος, θα θεωρήσουμε αμελητέες τις επιδράσεις της ατμόσφαιρας.

Ας κάνουμε τους υπολογισμούς μας. Στο σχήμα που ακολουθεί, R είναι η ακτίνα της Γης και h είναι το ύψος στο οποίο βρίσκεται ο παρατηρητής. Η απόσταση του ορίζοντα είναι η d. Παρατηρήστε κάτι, εδώ. Η d δεν είναι ίση με την απόσταση που θα διανύαμε εάν διατρέχαμε την διαδρομή μεταξύ παρατηρητή και αντικειμένου. Αυτό, άλλωστε, θα ήταν το μήκος μίας καμπύλης διαδρομής. Η απόσταση d είναι το μήκος της ευθείας που ενώνει τον παρατηρητή με το αντικείμενο. Για σχετικά μικρά ύψη, η διαφορά δεν είναι μεγάλη. Όπως φαίνεται και από το σχήμα, όμως, όσο ανεβαίνουμε τόσο φαίνεται ότι μιλάμε για δύο διαφορετικά πράγματα. Θυμάστε; Προσεγγίσεις είπαμε…

Το τρίγωνο που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο, καθώς κάθε εφαπτόμενη σε κύκλο ευθεία είναι κάθετη στην ακτίνα που διέρχεται από το σημείο επαφής. Οι υπολογισμοί που χρειάζεται να κάνουμε δεν είναι δύσκολοι· ένα απλό Πυθαγόρειο θεώρημα εφαρμόζουμε (αυτό που λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών). Κάνοντας τις πράξεις -και μία προσέγγιση*- καταλήγουμε στο ότι η απόσταση d (σε Km) είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του ύψους h (σε μέτρα), από το οποίο κοιτάμε, επί μία σταθερά. Η σταθερά αυτή έχει τιμή περίπου 3.6, δίνοντάς μας τελικά:

* Η προσέγγιση που κάναμε αφορά την διαγραφή ενός όρου (συγκεκριμένα, το h υψωμένο στο τετράγωνο), κάτι που δεν μας δημιουργεί πρόβλημα όσο το ύψος αυτό (h) παραμένει μικρό σε σχέση με την ακτίνα της Γης R. Κάτι το οποίο ισχύει για τις επίγειες καταστάσεις που μελετάμε. Σκεφτείτε, μόνο, ότι αν παρατηρούμε από h = 1 χιλιόμετρο, τότε το ύψος στο οποίο βρισκόμαστε είναι 6,4 περίπου χιλιάδες φορές μικρότερο από την ακτίνα R.

Ε, μην μας… φοβίζει, τώρα, μία απλή τεραγωνική ρίζα! Εντάξει, για κάποιες τιμές ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε calculator, ας δούμε όμως κάποια παραδείγματα με ύψη που υπολογίζονται εύκολα.

• Η τετρ. ρίζα του 0 είναι 0, οπότε για ύψος παρατήρησης h=0 m, ο ορίζοντάς μας είναι στα 0 Km
• Η τετρ. ρίζα του 1 είναι 1, οπότε για ύψος παρατήρησης h=1 m, ο ορίζοντάς μας είναι στα 3,6 Km περίπου
• Η τετρ. ρίζα του 25 είναι 5, οπότε για ύψος παρατήρησης h=25 m, ο ορίζοντάς μας είναι στα 18 Km περίπου
• Η τετρ. ρίζα του 100 είναι 10, οπότε για ύψος παρατήρησης h=100 m, ο ορίζοντάς μας είναι στα 36 Km περίπου
•  τετρ. ρίζα του 10.000 είναι 100, οπότε για ύψος παρατήρησης h=10 Km, ο ορίζοντάς μας είναι στα 360 Km περίπου

Έτσι, εάν το ύψος των ματιών μας βρίσκεται στο 1,70 τότε μπορούμε να δούμε μέχρι τα 4,7 χιλιόμετρα. Τι σημαίνει, όμως, αυτό το να δούμε; Για παράδειγμα, αναφέραμε παραπάνω ότι εάν βρισκόμαστε σε μηδενικό ύψος, τότε και ο ορίζοντάς μας βρίσκεται επίσης σε μηδενική απόσταση· δεν μπορούμε δηλαδή να δούμε τίποτα πιο πέρα από εμάς. Ξέρουμε, όμως, ότι όταν κολυμπάμε -και άρα βρισκόμαστε σε ύψος μηδέν- μπορούμε και βλέπουμε αντικείμενα γύρω μας στη θάλασσα (δεν συζητάμε για τα εκτός θαλάσσης, καθώς αυτά “εξέχουν” – βρίσκονται σε υψηλότερο σημείο).

Πράγματι, η αλήθεια είναι πως μπορούμε να δούμε τα κεφάλια άλλων λουόμενων, καθώς και άλλα αντικείμενα που πλέουν κοντά μας. Κανένα από αυτά, όμως, δεν βρίσκεται πραγματικά σε μηδενικό ύψος. Για να μην αναφέρουμε τον κυματισμό -έστω και ελαφρύ- της θάλασσας. Για να μην το τραβάμε στο όριο των μαθηματικών, καθώς ούτε το κεφάλι μας, ούτε τα μάτια μας, ούτε κανένα από τα αντικείμενα που παρατηρούμε δεν αποτελούν σημεία -καθώς έχουν διαστάσεις- και επειδή δουλεύουμε ήδη με προσεγγίσεις, μπορούμε να πάρουμε μία ιδέα από το εξής: έστω ότι η επιφάνεια της θάλασσας ήταν ένα τέλειο ακίνητο τμήμα σφαίρας. Τότε, εάν το μάτι σας βρισκόταν ακριβώς στο μηδέν (ας πούμε μισό μέσα μισό έξω) θα μπορούσατε να δείτε κατι που βρίσκεται λίγο μακρύτερα στην επιφάνεια (χωρίς να εξέχει); Θα μπρούσατε, για παράδειγμα, να δείτε ένα τμήμα φυκιού, το οποίο εφάπτεται ακριβώς στην επιφάνεια; Μάλλον όχι!

Σηκώστε λίγο το κεφάλι σας από την επιφάνεια, και θα το δείτε αμέσως. Ή… αν τελικά το αντικείμενο υψώνεται από την επιφάνεια (είναι π.χ. ένα σωσίβιο αντί για φύκι), και πάλι θα είσαστε σε θέση να το δείτε.

Ας δούμε, λοιπόν, τι ισχύει για αντικείμενα που εκτείνονται καθ’ ύψος. Αναφέραμε στην αρχή του άρθρου πως ένα πλοίο που απομακρύνεται, καθώς περνά τον ορίζοντα (μας) χάνεται σταδιακά. Αυτό σημαίνει πως όλο και περισσότερο, τα κάτω μέρη του κρύβονται πίσω από τον ορίζοντα λόγω της καμπυλότητας της Γης. Εάν, για παράδειγμα, το πλοίο εξέπεμπε φως από ένα σημείο του, το οποίο βρίσκεται στην επιφάνεια της θάλασσας (σε μηδενικό ύψος), το φως αυτό θα φαινόταν μέχρι το πλοίο να φτάσει στον ορίζοντα, και αμέσως μετά θα κρυβόταν πίσω από αυτόν. Το υπόλοιπο σκάφος, όμως, θα εξακολουθούσε να είναι ορατό.

Κάτι τέτοιο συμβαίνει και όταν παρατηρούμε μία πόλη στην απέναντι στεριά. Το τονίζουμε αυτό, καθώς θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί το εξής: είπαμε ότι ο ορίζοντας, όταν είμαι όρθιος μέσα στη θάλασσα (υπολογίσαμε για περίπου 170 cm) είναι περίπου 4,7 χιλιόμετρα. Γνωρίζω, όμως, ότι η πόλη (ή το χωριό κλπ) που βρίσκεται απέναντι, απέχει περισσότερο. Πώς λοιπόν την βλέπω; Η απάντηση είναι απλή, και μπορούμε να την δούμε στο παραπάνω σχήμα.

Βλέπουμε ότι κάθε αντικείμενο, αναλόγως του ύψους απο την επιφάνεια της θάλασσας, μπορεί να συμπέσει με (ή και να υπερβεί) την δική μας ευθεία παρατήρησης. Το τμήμα του από εκεί και πάνω, είναι ορατό από εμάς. Έτσι, τώρα ξέρετε: το παραθαλάσσιο χωριό που βλέπετε απέναντι δεν φαίνεται ολόκληρο. Ένα τμήμα του είναι κρυμμένο πίσω από τον ορίζοντα (σας)!