Κατεβαίνετε το πεζοδρόμιο. Διασχίζετε κάθετα ο οδόστρωμα και κατευθύνεστε προς την άκρη του, προς το απέναντι πεζοδρόμιο. Κινείστε με σταθερή ταχύτητα και με την ησυχία σας – δεν περνά κανένα αυτοκίνητο εξ΄ άλλου. Κάποια στιγμή όμως θα φτάσετε στο απέναντι πεζοδρόμιο. Σωστά;
Υπάρχει κάποια φαινομενικά ορθή χρήση της λογικής που θα διαφωνήσει με αυτό. Για την ακρίβεια θα πει πως, όσο και να περπατήσετε, δεν φτάσετε ποτέ.
Τι θα δούμε και τι όχι σε αυτό το άρθρο
Θα μιλήσουμε για τη γνωστότερη παραλλαγή ενός από τα παράδοξα του Ζήνωνα. Έτσι, το πρώτο που βλέπουμε σε αυτό το άρθρο είναι ότι ο τίτλος του είναι λάθος, και θα πούμε το γιατί.
Θα κάνουμε μια πολύ μικρή αναφορά στο γιατί διατύπωσε τα παράδοξά του Ζήνωνας. Και τέλος, θα δούμε τρεις λύσεις του παραδόξου αυτού, από τρεις διαφορετικούς κλάδους της επιστήμης.
Αυτά που δεν θα δούμε, επειδή αν το κάναμε θα θέλαμε ολόκληρο βιβλίο για να το κάνουμε ικανοποιητικά, είναι: (α) Τα τέσσερα γνωστότερα παράδοξα του Ζήνωνα. Και (β) τη φιλοσοφία αλλά και τη πολιτική που κρύβεται πίσω από αυτά. Το καθένα από αυτά ίσως βρει τη θέση του σε κάποιο άλλο άρθρο, πάντως δεν θα αποφύγουμε να τους ρίξουμε μια, έστω επιφανειακή, ματιά.
Ας ξεκινήσουμε.
Το παράδοξο της Διχοτομίας
Το σενάριο που παρουσίασα στην αρχή του άρθρου αποτελεί μια παραλλαγή του ενός από τα πάρα πολλά παράδοξα του Ζήνωνα, το οποίο έχει γίνει γνωστό ως “το παράδοξο της Διχοτομίας”. Εμείς θα μελετήσουμε τη παραλλαγή που είδαμε στην αρχή, και το πρώτο που θα κάνουμε είναι να δούμε που έχουμε παράδοξο στο σενάριο αυτό.
Περπατάτε λοιπόν προς την άκρη του δρόμου. Για να φτάσετε στην άκρη του δρόμου θα πρέπει πρώτα να διανύσετε τη μισή απόσταση, η οποία θα σας πάρει κάποιο χρόνο t. Για το τμήμα του δρόμου που απομένει πρέπει να διανύσετε και πάλι τη μισή του απόσταση. Αυτή τη φορά θα χρειαστείτε χρόνο t/2, επειδή είναι η μισή διαδρομή από τη προηγούμενη και κινείστε με σταθερή ταχύτητα.
Το ίδιο θα συμβεί και με το επόμενο κομμάτι για το οποίο χρειάζεστε χρόνο t/4, μετά t/8 κ.ο.κ. Και κάπου εδώ έρχεται το παράδοξο.
Κάθε φορά για να διασχίσετε το επόμενο τμήμα, πρέπει να διασχίσετε πρώτα το μισό του για το οποίο χρειάζεται κάποιος χρόνος κάθε φορά. Συνεχίζοντας με αυτό το τρόπο:
- Θα διαιρούμε κάθε φορά το επόμενο τμήμα στο μισό του, το οποίο θα πρέπει να το διασχίσουμε.
- Θα υπάρχουν άπειρες τελικά διαιρέσεις και άρα άπειρα τμήματα, καθένα από τα οποία θα θέλει κάποιο χρόνο για να καλυφθεί.
Όσο μικρός κι αν είναι αυτός ο χρόνος, αν προσθέσουμε άπειρα τέτοια μικρά τμήματα, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι άπειρο.
Χρειάζεστε άπειρο χρόνο για να φτάσετε στο απέναντι πεζοδρόμιο. Το ότι τελικά φτάνετε, δεν είναι παρά μια ψευδαίσθηση.
Εμείς από τη πλευρά μας έχουμε δύο επιλογές. Ή να δεχτούμε ότι ζούμε σε μια ψευδαίσθηση, ή ότι στο παραπάνω συλλογισμό υπάρχει κάποιο λάθος. Που βρίσκεται όμως αυτό;
Θα φτάσουμε σιγά σιγά εκεί. Πρώτα, θα κάνουμε μια περιήγηση στο παρελθόν.
Βουτιά στα ρηχά της φιλοσοφίας
Για τα αποφθέγματα που έχουν προκύψει από τη φιλοσοφία της αρχαίας Ελλάδας είναι καλό να γνωρίζουμε κάποια πράγματα. Το πρώτο και σημαντικότερο είναι ότι, όπως ακριβώς και η ίδια η φιλοσοφία, δεν είναι καθόλου αθώα.
Ύποπτοι καιροί
Μιλάμε για τον 5ο π.Χ. αιώνα όπου ο Ζήνων από την Ελέα γνώρισε στους Αθηναίους τα παράδοξά του. Βρισκόμαστε δηλαδή σε μια εποχή και μια πόλη που έχει μόλις γνωρίσει έντονες πολιτειακές μεταβολές. Δεν έχει περάσει ούτε μια γενιά όπου, μετά από σκληρούς αγώνες, ένα μεγάλο κομμάτι της κοινωνίας απέκτησε το δικαίωμα να έχει λόγο στη διαμόρφωση της ζωής του, ενώ ένα άλλο κομμάτι έχασε το δικαίωμα να ελέγχει τη ζωή όλων, το οποίο δικαίωμα διατηρούσε επί εκατοντάδες χρόνια. Ένα μεγάλο της δραστηριότητας των κατοίκων της Πόλης αφορούσε αυτή ακριβώς τη μάχη η οποία δεν είχε λήξει.
Έτσι, αυτό που πρέπει να κατανοήσουμε είναι πως ο Λόγος και η Σκέψη ήταν συχνά, ή και πάντα, στρατευμένος στη μάχη αυτή. Ανάλογα με τη πολιτική θέση που είχε ο καθένας, προσάρμοζε το δημόσιο λόγο του, τη τέχνη ή και την επιστήμη του, στις ανάγκες αυτής της συνεχούς πάλης.
Η φιλοσοφία είναι μια – και έχει σκοπό
Το δεύτερο που πρέπει να γνωρίζουμε, είναι κάτι που στη θεωρία τουλάχιστον, το γνωρίζουμε όλοι. Η φιλοσοφία στην αρχαία Ελλάδα ήταν ενιαία. Υπήρχε ο διαχωρισμός στους επιμέρους τομείς, όπως στη Γεωμετρία ή τη Ρητορική, αλλά όλοι οι τομείς της γνώσεις αποτελούσαν ένα ενιαίο σύνολο. Εύκολα λέμε σήμερα “ο Παρμενίδης πίστευε αυτό” ή “ο Δημόκριτος πίστευε το άλλο”, δύσκολα όμως θυμόμαστε πως αυτό που αυθαίρετα ονομάζουμε εμείς “πίστη”, για τους φιλόσοφους της εποχής εκείνης προέκυπτε νομοτελειακά από το σύνολο των επιστημονικών τους γνώσεων. Και πάντα μα πάντα, την οποιαδήποτε φιλοσοφική θέση κι αν εξέφραζαν:
- Τη στήριζαν στα αποτελέσματα που τους έδινε η Λογική ή/και η Γεωμετρία. Ή τουλάχιστον, σε αυτά που οι ίδιοι υποστήριζαν ότι προκύπτουν από τη Λογική ή τη Γεωμετρία.
- Προωθούσαν αυτή τη φιλοσοφική θέση ως όπλο στον αέναο κοινωνικό αγώνα κατά των πολιτικών τους αντιπάλων.
Δυστυχώς ένα άρθρο καταλαμβάνει πολύ μικρό χώρο για περαιτέρω ανάλυση, οπότε μόνο ενδεικτικά κι εντελώς επιφανειακά θα αναφέρω ένα παράδειγμα για τα παραπάνω. Η έννοια του Συνεχούς στη γεωμετρία και τη φιλοσοφία, προβαλλόταν για μια Πόλη που ήταν υποχρεωμένη να λειτουργεί ως σύνολο αν ήθελε να παραμείνει ζωντανή. Ή αλλιώς, η Πόλη πάνω από τον Πολίτη. Ενώ η έννοια του Διακριτού αφορούσε ακριβώς το αντίθετο. Το κάθε άτομο, το κάθε διακριτό τμήμα της πόλης έχει αξία, και χωρίς την ευημερία του ατόμου το σύνολο δεν θα μπορούσε να λειτουργήσει. Η πόλη, θα ήταν καταδικασμένη να καταρρεύσει.
Με αυτά κατά νου, μπορούμε να ρίξουμε μια ματιά στο επόμενο ερώτημα.
Τι ήθελε να πει ο ποιητής;
Ο Ζήνων καταγόταν από την Ελέα της Νοτίου Ιταλίας. Αρχικά τουλάχιστον ήταν μαθητής και συνοδοιπόρος του Παρμενίδη, με τον οποίο ταξίδεψαν κι έμειναν για αρκετό καιρό στην Αθήνα. Όπου εκεί, παρουσίασε στο πνευματικό κόσμο της Πόλης τα περισσότερα από τα 40 παράδοξά του, από τα οποία έχουν διασωθεί 9 με τα γνωστότερα να είναι 4.
Η στράτευση σε κοινωνικούς σκοπούς που αναφέρθηκε παραπάνω καθώς και η συνεχιζόμενη πάλη ιδεών κρατά δυνατά ως τις μέρες μας. Έτσι, ανάλογα με το ποιον θα ρωτήσετε και τις πεποιθήσεις του, θα σας πει διαφορετικό πράγμα για το τι ήθελε να διδάξει ο Ζήνωνας με καθένα από τα παράδοξα αυτά.
Κάποια ιδεολογική σχολή λοιπόν θα πει με σιγουριά πως με τα παράδοξα αυτά υποστήριξε κι επέκτεινε τις διδαχές του – πρώην (;) – δασκάλου του. Ότι για παράδειγμα, η κοινή αντίληψη της πραγματικότητας, η σκέψη, οδηγεί σε παράδοξα και οξύμωρα. Κάποια άλλη σχολή και με δεδομένο ότι ο Ζήνων πάλεψε ενάντια στη Τυραννία και θανατώθηκε από αυτήν, θα ισχυριστεί το αντίθετο. Πως στη πραγματικότητα ήθελε να ανατρέψει τους ισχυρισμούς του Παρμενίδη. Και να πει πως, αν δεχτείς ότι το Συνεχές είναι αυτό που χαρακτηρίζει τη φύση και απορρίψεις την ύπαρξη του διακριτού, τότε θα βρίσκεσαι σε αιώνιες κι αξεπέραστες αντιφάσεις που θα κάνουν τον κόσμο σου να καταρρεύσει. Ενώ υπάρχουν κι άλλες σχολές που θα υποστηρίξουν σθεναρά κάποια άλλα συμπεράσματα.
Εμείς από τη πλευρά μας, θα κρατήσουμε μόνο στην άκρη της σκέψης μας τέτοιου είδους στοχασμούς. Θα περάσουμε στα ίδια τα παράδοξα. Και θα προσπαθήσουμε να ανιχνεύσουμε κάποιες λύσεις γι΄ αυτά.
Λύσεις στο παράδοξο της διχοτομίας
Τρεις κλάδοι των επιστημών θα επιστρατευτούν για να μας δώσει ο καθένας τους από μια λύση στο παράδοξο.
Αριθμητική
Το παράδοξο οφείλεται στην ύπαρξη απείρων χρονικών διαιρέσεων, των οποίων το άθροισμα δεν μπορεί παρά να κάνει άπειρο. Η απλή αριθμητική όμως, διαφωνεί με αυτό.
Ας το δούμε.
Είδαμε παραπάνω ότι το πρώτο τμήμα της απόστασης θα το διανύσουμε σε χρόνο t, το δεύτερο σε χρόνο t/2 κ.ο.κ. Συνολικά, ο χρόνος Τ που θα χρειαστεί για να διανύσουμε την απόσταση θα είναι ίσος με
T = t + t/2 + t/4 + t/8 + t/16 +…
όπου ακολουθούν άπειροι ακόμη προσθετέοι απείρων χρονικών διαστημάτων.
Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αυτό το άθροισμα με τη βοήθεια απλής Αριθμητικής. Προσοχή: απαιτούνται γνώσεις 1ης γυμνασίου!
Θα χρειαστούν τρία βήματα για τον υπολογισμό. Το πρώτο είναι να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας με τον αριθμό 1/2, οπότε αυτή θα γίνει ίση με
(1/2)T = t/2 + t/4 + t/8 + t/16 +…
Επόμενο βήμα: να αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες. Παρατηρήστε ότι όλα τα κλάσματα της πρώτης ισότητας υπάρχουν και στη 2η και αντίστροφα, έτσι μετά την αφαίρεση όλα τα κλάσματα θα διαγραφούν. Θα προκύψει η σχέση
T – (1/2)T = t
Η πράξη στο πρώτο μέλος δίνει (1/2)Τ, έτσι από την ισότητα παίρνουμε (λύνοντας, όπως λέμε, ως προς Τ), ότι ο συνολικός χρόνος Τ που χρειάζεται να διανύσουμε όλη την απόσταση δεν είναι τελικά άπειρος, αλλά ίσος με
Τ = 2t.
Παρατηρήστε ότι το μόνο που καταφέραμε μέχρι στιγμής είναι να απορρίψουμε το αποτέλεσμα του συλλογισμού. Δηλαδή, να αποδείξουμε ότι ο χρόνος τελικά δεν είναι άπειρος και μάλιστα, να τον υπολογίσουμε. Δεν καταφέραμε όμως να βρούμε το λάθος στον ίδιο το συλλογισμό.
Τουλάχιστον μέχρι στιγμής.
Γεωμετρία
Με τη βοήθεια της γεωμετρίας θα καταλήξουμε σε παρόμοιο αποτέλεσμα. Δεν θα καταφέρουμε να εντοπίσουμε το σφάλμα, θα αποδείξουμε όμως κάτι παρόμοιο με πριν. Ότι, αν και τα τμήματα που διανύουμε κάθε φορά είναι άπειρα, το ίδιο το άθροισμα των απείρων αυτών τμημάτων είναι πεπερασμένο. Άρα, θα το διανύσουμε σε πεπερασμένο χρόνο.
Δείτε πάλι το σχήμα. Αρχικά διανύουμε το μισό μήκος της διαδρομής, το 1/2. Έπειτα το μισό του μισού, δηλ. το 1/4, και μετά το 1/8, 1/16 κ.ο.κ.
Το άθροισμα όλων αυτών των απείρων τμημάτων είναι το
Σ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Γεωμετρικά, θα υπολογίσουμε αυτό το άθροισμα με τη βοήθεια ενός τετραγώνου. Θα το χωρίσουμε στη μέση παίρνοντας το 1/2 αυτού, το οποίο στο σχήμα έχουμε χρωματίσει με μπλε χρώμα. Το υπόλοιπο κομμάτι θα το χωρίσουμε και αυτό στη μέση. Το μπλε χρώμα καταλαμβάνει το 1/4 του συνολικού τετραγώνου. Το ίδιο και με το υπόλοιπο τμήμα, που είναι το 1/8.
Συνεχίζοντας επ΄ άπειρον να διαιρούμε τη λευκή περιοχή και να χρωματίζουμε το ένα τμήμα της, θα καλύψουμε τελικά όλο το ορθογώνιο.
Το άθροισμα των απείρων τμημάτων που έχουμε δημιουργήσει, είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου. Του οποίου η πλευρά είναι ίση με 1, άρα το άθροισμα
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
είναι τελικά ίσο με ένα. Δεν έχουμε να καλύψουμε άπειρη διαδρομή, δεν θα περπατήσουμε για άπειρο χρόνο.
Φυσική
Στη προσπάθειά μας να δούμε γιατί το Παράδοξο του Fermi δεν είναι παράδοξο, είχαμε παρατηρήσει το εξής. Πως για να υπάρχει παράδοξο πρέπει να διαθέτουμε:
- Ένα δεδομένο.
- Έναν συλλογισμό που από το δεδομένο να οδηγεί σε ένα συμπέρασμα Α. Και
- Μια παρατήρηση Β διαφορετική από την Α.
Το δεδομένο – κλειδί στο οποίο βασίσαμε το συλλογισμό στο παράδοξο του Ζήνωνα ήταν το εξής. Διαιρέσαμε τη διαδρομή σε άπειρα τμήματα. Για την ακρίβεια, κάθε τμήμα που απέμενε το διαιρούσαμε συνεχώς σε δύο νέα, συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία επ΄ άπειρον. Μήπως κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατόν, μήπως το νοητά λογικό είναι φυσικά αδύνατο;
Η Κβαντομηχανική θα μας απαντήσει ένα ξεκάθαρο ναι. Δεν είναι δυνατή η συνεχής διαίρεση, δεν μπορούμε να συνεχίσουμε τη διαδικασία επ΄ άπειρον. Υπάρχει ένα ελάχιστο μήκος που μπορούμε να φτάσουμε – το επονομαζόμενο μήκος Plank – όπου πέρα από αυτό, είναι αδύνατη οποιαδήποτε άλλη διαίρεση.
Έτσι, το πρόβλημα δεν βρίσκεται στη λογική. Το λάθος υπάρχει στο δεδομένο. Η φυσική έχει δώσει μια οριστική λύση, παράδοξο δεν υπάρχει.
