Η ιστορία με το πρόβλημα του Monty Hall ξεκινά το 1963, εποχή που το τηλεοπτικό κανάλι ABC ξεκίνησε το τηλεπαιχνίδι “Let’s Make a Deal”. Το ίδιο το παιχνίδι ήταν συναρπαστικό, τα μεγάλα του ατού όμως ήταν ο συμπαθέστατος καθώς λένε, Καναδός παρουσιαστής Monty Hall καθώς και η, επίσης όπως λένε, σέξυ συμπαρουσιάστριά του και πρώην μις Καλιφόρνια το 1957, Carol Merill. Και οι δύο μαζί καθήλωναν το τηλεοπτικό κοινό που διψούσε για ψυχαγωγία, σε μια εποχή όπου όλα έμοιαζαν να μπορούν να πάνε μόνο προς τα εμπρός.
Το ίδιο το παιχνίδι θα είχε κρατήσει μια θέση στην ιστορία των τηλεοπτικών show του τελευταίου μισού του 20ου αιώνα. Το μόνο που δεν θα είχε ποτέ περάσει από το μυαλό των εμπνευστών του, ήταν ότι έμελλε να αποτελέσει μια ισχυρή υποσημείωση στην ιστορία των μαθηματικών. Για να γίνει κάτι τέτοιο χρειάστηκε η ταυτόχρονη ύπαρξη δύο παραγόντων. Ο πρώτος δεν ήταν παρά μια από τις χιλιάδες επιστολές που στέλνονταν εκείνη την εποχή από τους αναγνώστες των εβδομαδιαίων στηλών προς τις εφημερίδες ή περιοδικά που τις φιλοξενούσαν, και συγκεκριμένα μια επιστολή προς το εκεί δημοφιλές, εδώ άγνωστο, περιοδικό Parade.
Και ο δεύτερος παράγοντας, ήταν μια ευφυής παραλήπτης της επιστολής.
Η δική μας ιστορία όμως έχει τις ρίζες της αλλού. Ξεκινά πολύ παλαιότερα, όταν ένας άλλος πολιτισμός χόρταινε τη δική του δίψα για ψυχαγωγία ζώντας μια εποχή όπου τα μηνύματα έδειχναν πως όλα φαίνεται να πηγαίνουν στραβά.
Τρωάδες
Βρισκόμαστε στη τρίτη μέρα των Μεγάλων Διονυσίων του 415 π.Χ. Μετά τα πρόσφατα γεγονότα της Μύλου και με τις τύψεις να τους στοιχειώνουν σαν Μαινάδες, οι θεατές παρακολουθούν το τρίτο μέρος της τριλογίας που επέλεξε να παρουσιάσει ο Ευριπίδης στους Αθηναίους πολίτες. Με δάκρυα, φωνές και οδυρμούς παρακολουθούν τα πάθη των γυναικών της πρόσφατα λεηλατημένης από τους Έλληνες Τροίας και σα να μην έφτανε αυτό, κάτι πιο συγκλονιστικό και αποτρόπαιο εμφανίζεται έτοιμο να συμβεί.
Η Τροία είχε πυρποληθεί και γκρεμιστεί συθέμελα, αλλά μια πόλη δεν είναι τα τείχη ή τα σπίτια της. Τα χωράφια της είχαν καεί και οι θησαυροί της λεηλατηθεί, η πόλη όμως δεν είναι τα πλούτη της. Οι περισσότεροι άντρες της είχαν θανατωθεί και οι γυναίκες τους είχαν υποδουλωθεί, αλλά η πόλη δεν είναι καν οι κάτοικοί της. Ο βασιλιάς της πόλης είχε θανατωθεί, το ίδιο και τα 50 παιδιά του, ένα νεογέννητο βρέφος όμως και γιος του πρωτότοκου του βασιλιά ήταν ακόμη στην αγκαλιά της μάνας του, Ανδρομάχης.
Το βρέφος θα γινόταν παιδί. Το παιδί άντρας και ως μοναδικός απόγονος του Πριάμου θα θεωρούνταν ο νόμιμος βασιλιάς. Ο βασιλιάς είναι η ελπίδα που θα ενώσει τους ανθρώπους και θα τους μετατρέψει σε πολίτες. Η πόλη, είναι ο βασιλιάς της.
Και ο σκοπός της εκστρατείας δεν ήταν τίποτε λιγότερο παρά να καταστραφεί η πόλη οριστικά. Έτσι, για το συμβούλιο των Ελλήνων στρατιωτών που μόλις είχε τελειώσει, η απόφαση για τη μοίρα του βρέφους δεν θα μπορούσε παρά να είναι μια, τελεσίδικη και αμετάκλητη, όσο και τρομακτική.
Θάνατος
Ο άγγελος του Αγαμέμνονα Ταλθύβιος αναλαμβάνει να μεταφέρει με τον δέοντα σεβασμό τα νέα προς την πρώην βασίλισσα και νυν σκλάβα, Εκάβη. Η σκηνή είναι συνταρακτική. Οι θρήνοι της Εκάβης σπαραχτικοί και οι θεατές την παρακολουθούν να σέρνεται παρακαλώντας τον Οδυσσέα να προτρέψει τους Έλληνες να γλυτώσουν τους εαυτούς τους από αυτή την ιεροσυλία.
Ο Οδυσσέας δεν ήταν ο μοναδικός από τους Έλληνες που γνώριζε ότι μια τέτοια Ύβρις δεν θα έμενε ατιμώρητη, ήταν όμως από τους λίγους. Προσπαθώντας να αποφύγει την Εκάβη, της εξήγησε πως δεν είχε νόημα να πει οτιδήποτε και πως, και άλλοι προσπάθησαν ήδη να αλλάξουν τα κεφάλια των υπολοίπων Ελλήνων, τις γνώμες των πολλών. Και στο σημείο αυτό, ο δεξιοτέχνης Ευριπίδης και δυνατός γνώστης του κοινωνικού συμπεριφορισμού, βάζει την Εκάβη να ψελλίσει το τελευταίο της επιχείρημα πριν νικηθεί από τις αδυσώπητες δυνάμεις της Μοίρας:
Δεν έχουν την ίδια δύναμη λόγια που λένε άνθρωποι ταπεινοί, με τα ίδια λόγια όταν τα λένε άνθρωποι σπουδαίοι!
Ελάχιστα παραδείγματα μπορούν να αποδώσουν καλύτερα τη δύναμη αυτών των λόγων, από τα γεγονότα που ακολούθησαν μια Κυριακή του Σεπτέμβρη του 1990 και τη δημοσίευση του νέου τεύχους του δημοφιλέστατου περιοδικού της εποχής, Parade.
Ask Merilyn
Απ΄ όλες τις αντίστοιχες στήλες των έντυπων μέσων ανά την υφήλιο, η στήλη με τίτλο “Ρωτήστε την Μέριλυν” του περιοδικού Parade θεωρείται μάλλον από τις πιο πετυχημένες. Η στήλη ξεκίνησε το 1986. Εξακολουθεί να υπάρχει μέχρι και σήμερα, πλέον και σε διαδικτυακή μορφή, ενώ όπως λέγεται είναι ακόμη δημοφιλής. Το δε περιεχόμενό της δεν αποτελεί παρά τις απαντήσεις σε ερωτήσεις αναγνωστών, οι οποίες κυμαίνονται από:
“Όταν κλείνει το χρηματιστήριο στο τέλος της ημέρας, γιατί όλοι χαμογελάνε και χειροκροτούνε ανεξάρτητα από το αν οι μετοχές σημείωσαν άνοδο ή πτώση;”
μέχρι:
“Όταν οδηγείς και περνάς δίπλα από ένα νεκρό ζώο, γιατί περνούν περίπου δέκα δευτερόλεπτα μέχρι να σου έρθει η μυρωδιά;”
Τις δε απαντήσεις, τουλάχιστον στα πρώτα χρόνια ζωής της στήλης, τις έδινε ένα πρόσωπο που όπως αποδείχτηκε, είχε μάλλον το ανάστημα να μπορεί να τις δώσει, εκτοξεύοντας τη στήλη στη κορυφή της αναγνωσιμότητας όλων των αντίστοιχων στηλών.
Η αρθρογράφος
Η Mairilyn vos Savant δεν ήταν παρά μια αρθογράφος σε μια στήλη περιοδικού. Για την ακρίβεια δεν ήταν καν αρθρογράφος, ήταν εκείνη που απαντούσε στις ερωτήσεις αναγνωστών. Στα μάτια των περισσότερων κάτι τέτοιο δεν δίνει περισσότερο κύρος από κάποιον που απαντά σε ερωτήσεις όπως “είμαι ζυγός κι εκείνος τοξότης με ωροσκόπο στον ταύρο, η σχέση μας μπορεί να προχωρήσει;”
Ένας τέτοιος συσχετισμός σίγουρα θα την αδικούσε. Εύκολα έβλεπε κάποιος ότι οι περισσότερες από τις ερωτήσεις που επέλεγε να απαντήσει απαιτούσαν ένα εύρος γνώσεων που ελάχιστοι διέθεταν. Αυτό που δεν έβλεπε επίσης εύκολα ήταν πως η Μαίριλυν βος Σάβαντ ήταν καταγεγραμμένη στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως ο άνθρωπος με το υψηλότερο δείκτη IQ.
Παρ΄ όλα αυτά, για τους περισσότερους δεν ήταν παρά κάποια που απαντούσε σε ερωτήσεις κοινού σε κάποιο περιοδικό. Και τη θέση της στην ιστορία δεν την εξασφάλισε το ο υψηλός της δείκτης νοημοσύνης.
Αυτό που της την εξασφάλισε όμως ήταν σίγουρα μια συνέπεια αυτού. Και δεν ήταν παρά η απάντηση που έδωσε στην ερώτηση που θα ακολουθήσει στη μεθεπόμενη ενότητα.
Το πρόβλημα του Monty Hall
Για όσους γνωρίζουν, η φύση του παιχνιδιού Let’s Make a Deal είναι ίδια με το αντίστοιχο παιχνίδι της ελληνικής τηλεόρασης του περασμένου αιώνα με τίτλο “Το Μεγάλο Παζάρι”. Για όσους δεν γνωρίζουν κάνω μια σύντομη περιγραφή:
Στο πλατό υπάρχουν τρεις κουρτίνες, πίσω από τις οποίες κρύβονται αντίστοιχος αριθμός δώρων. Σε κάποια παραλλαγή του παιχνιδιού ένα από αυτά τα “δώρα” είναι ότι χάνεις όλα όσα δώρα έχεις κερδίσει στη μέχρι εκείνη διάρκεια του παιχνιδιού, για απλούστευση όμως εμείς θα δούμε τη γενική περίπτωση.
Τα δύο από τα τρία δώρα που κρύβονται πίσω από τις τρεις κουρτίνες είναι ασήμαντα, το ένα και μόνο είναι το σημαντικό. Στο άρθρο θα ονομάσουμε τα ασήμαντα δώρα ως “κατσίκα” και το ακριβό και σημαντικό ως “το αυτοκίνητο”.
Ο παίχτης επιλέγει μια από τις τρεις κουρτίνες.
Ο παίχτης θέλει να κερδίσει το αυτοκίνητο.
Και ο παρουσιαστής του παιχνιδιού, θα κάνει ό,τι μπορεί για να τον εμποδίσει.
Παρουσιαστής: ο μη τυχαίος παράγοντας
Μετά την επιλογή της όποιας από τις τρεις κουρτίνες, ο παρουσιαστής κάνει τη μια μετά την άλλη δύο κινήσεις. Η πρώτη, είναι να ανοίξει μια από τις δύο κουρτίνες που δεν έχουν επιλεγεί από τον παίχτη. Θυμίζουμε, πίσω από τις τρεις κουρτίνες βρίσκονται δύο κατσίκες κι ένα αυτοκίνητο. Όποια κουρτίνα και να έχει επιλέξει ο παίχτης, τουλάχιστον μια από τις δύο άλλες θα κρύβει πίσω της μια κατσίκα.
Ο παρουσιαστής ως πρώτη κίνηση και γνωρίζοντας τι κρύβεται πίσω από τις κουρτίνες, ανοίγει πάντα τη κουρτίνα με τη κατσίκα.
Η δεύτερη κίνηση του παρουσιαστή και αμέσως μετά το άνοιγμα της κουρτίνας με την κατσίκα, είναι να προσφέρει στον παίχτη μια φαινομενικά αδιάφορη δυνατότητα.
Του δίνει τη δυνατότητα να αλλάξει την αρχική του επιλογή.
Μήπως θα θέλατε τη κουρτίνα δύο;
Ο παίχτης (υποθέτουμε πως) επέλεξε αρχικά τη κουρτίνα με τον αριθμό ένα. Δεν γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από αυτήν, όπως δεν γνώριζε εξ΄ αρχής. Μπορεί να υπάρχει το Αυτοκίνητο των Ονείρων, μπορεί όμως πίσω από αυτή να βρίσκεται η 2η εναπομένουσα κατσίκα. Μήπως τώρα θέλει να αλλάξει την επιλογή του, μήπως η αρχική δεν ήταν σωστή; Ο παίχτης έχει σταθερή θέληση ή παρασύρεται από τη πνοή του ανέμου, θα κρατήσει την αρχική του θέση ή δεν είναι παρά ένας ευμετάβλητος, εύπλαστος χαρακτήρας;
Θέλετε τη κουρτίνα 1 ή μήπως θα προτιμήσετε τώρα τη κουρτίνα 2;
Όπως φαίνεται όλο αυτό δεν είναι παρά ένα παιχνίδι ψυχολογίας, με στόχο να ανεβάσει την αγωνία των τηλεθεατών. Ο οποίος τηλεθεατής δεν θέλει απλά να κερδίσει ο παίχτης το αυτοκίνητο των ονείρων του, έχει γίνει ο ίδιος παίχτης, έχει ταυτιστεί πλήρως με αυτόν! “Μη το κάνεις, μην αλλάζεις, σε κοροϊδεύει!” “Εγώ δεν θα άλλαζα, δεν θα με έκανε αυτός ό,τι θέλει!”. “Εμένα αν μου έλεγε, εγώ θα…”. “Εγώ εγώ εμένα εγώ ο εαυτός μου εγώ εγώ!”.
“Σωπάστε να δούμε, τι θα κάνει;”
Η αγωνία στο κατακόρυφο, η τηλεθέαση στον ουρανό. Μπουμ!
Και όλα αυτά, λόγω μιας εντελώς μάταιης δυνατότητας επιλογής. Οι κουρτίνες είναι πλέον δύο, μόνο η μια κρύβει το αυτοκίνητο. Είτε ο παίχτης κρατήσει την αρχική του επιλογή είτε την αλλάξει, οι πιθανότητες παραμένουν στο 50-50, προς τι όλος αυτός ο ντόρος λοιπόν;
Η επιστολή
Αγαπητή Μαίριλυν.
Ας υποθέσουμε ότι στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι είμαστε στο στάδιο όπου ο παρουσιαστής έχει ήδη ανοίξει τη μια εκ των τριών κουρτινών κι έχει εμφανιστεί μια κατσίκα. Τώρα, προσφέρει στον παίχτη τη δυνατότητα να αλλάξει την αρχική του επιλογή. Συμφέρει τον παίχτη να κάνει κάτι τέτοιο;
Και με την απάντησή της, η Μαίριλυν μετέτρεψε ένα απλό τηλεπαιχνίδι στο διαβόητο Πρόβλημα του Monty Hall. Την απλότητα μιας φαινομενικά ασήμαντης επιλογής σε ένα από τα διαβόητα προβλήματα των Πιθανοτήτων. Και παράλληλα ανέβασε τον εαυτό της στο Πάνθεον των Δαβίδ που επιβίωσαν από τη συντονισμένη επίθεση των Γολιάθ του χώρου της επιστήμης.
Το μόνο σίγουρο ήταν ότι δεν περίμενε το τι θα ακολουθούσε εκείνη τη Κυριακή του Σεπτεμβρίου του 1990, όταν δημοσιεύτηκε η επιστολή μαζί με την απάντησή της.
Αντιδράσεις
Θα μπορούσε να γράψει κατά του δικαιώματος οπλοκατοχής. Ή ότι θα ήταν καλό για τις ΗΠΑ να προχωρήσουν σε όρους συμμαχίας με την πρώην ΕΣΣΔ. Ακόμη και ότι η Αλάσκα ανήκει τελικά στους Καναδούς και πως πρέπει να τους παραχωρηθεί. Τίποτε από αυτά όμως δεν θα πυροδοτούσε τον καταιγισμό αντιδράσεων που προκάλεσε η απάντησή της.
Για κάποιο ανεξήγητο λόγο και παρ΄ όλη την απάθεια του κοινού για οτιδήποτε έχει σχέση με μαθηματικά, η άρνηση της Μαίριλυν να δεχτεί το προφανές προκάλεσε έναν καταιγισμό από επιστολές. Η ίδια τις εκτίμησε κοντά στις 10.000, ενώ το μέγεθος της ενωμένης από το κοινό αντίδρασης το παρουσιάζει κάπως πιο παραστατικά ο L. Mlodinow στο βιβλίο του “τα βήματα του μεθυσμένου”:
Αν ρωτήσετε τους Αμερικανούς κατά πόσο συμφωνούν με τις παρακάτω προτάσεις:
– Τα φυτά παράγουν το οξυγόνο του αέρα.
– Το φως ταξιδεύει γρηγορότερα από τον ήχο.
– Το γάλα που έχει μολυνθεί με ραδιενέργεια δεν γίνεται ασφαλές με τον βρασμό.
– Η απάντηση που έδωσε η Μαίριλυν είναι λανθασμένη,τα ποσοστά συμφωνίας που θα πάρετε είναι αντίστοιχα 13%, 24%, 35% και 92%.
Για όνομα. Είναι δυνατόν, αυτή, που την εμπιστευόμασταν τόσο καιρό, να έχει κάνει λάθος σε ένα τόσο απλό ερώτημα; Ανεπίτρεπτο!
Η ακαδημαϊκή κοινότητα
Ο ίδιος ο ακαδημαϊκός χώρος δεν έμεινε πίσω σε ό,τι αφορά τις αντιδράσεις. “Τα κάνατε θάλασσα“, έγραφε μια επιστολή από το George Mason Uiniversity. Η οποία, αφού εξηγούσε γιατί η πιθανότητα δεν θα μπορούσε να είναι παρά 50% έκλεινε λέγοντας:
“Ως επαγγελματίας μαθηματικός ανησυχώ ιδιαίτερα για τις ελλιπείς μαθηματικές δεξιότητες του κοινού. Σας παρακαλώ να βοηθήσετε να βελτιωθεί η κατάσταση ομολογώντας το λάθος σας και όντας πιο προσεκτική στο μέλλον.“
Από το Πολιτειακό Πανεπιστήμιο του Fairleigh Dickinson: “Έχω πάθει σοκ. Ενώ σας έχουν διορθώσει τουλάχιστον τρεις μαθηματικοί, δεν κατανοείτε κι επιμένετε στο λάθος σας”. Από το Georgetown της Ουάσινγκτον: “Πόσοι εξοργισμένοι μαθηματικοί χρειάζονται για να αλλάξετε γνώμη;” Ενώ κάποιος από το Ινστιτούτο Ερευνών του Αμερικανικού στρατού έκανε την εξής παρατήρηση. “Αν όλοι αυτοί οι διδάκτορες έκαναν λάθος, η χώρα θα είχε σοβαρό πρόβλημα“.
Όπως φάνηκε, αυτή η παρατήρηση ήταν από όσες δέχτηκε, η μοναδική σωστή.
Η ιστορία έχει καταγράψει μόνο τα σφάλματα της επιστημονικής κοινότητας σε αυτό. Έτσι δεν μπόρεσα να βρω πότε άρχισε να αλλάζει το κλίμα ώσπου σταδιακά, να γίνει απ΄ όλους αποδεκτό ότι η Μαίριλυν τελικά είχε δίκιο. Είναι μάλλον αναμενόμενο εξ΄ αρχής να υπήρχαν φωνές είδαν τη σωστή απάντηση, οι οποίες όμως όπως συμβαίνει συνήθως θα πνίγηκαν στην οχλοβοή.
Οι αντιδράσεις συνολικά ήταν πολλές και διήρκεσαν πολύ. Η Μαίριλυν αφιέρωσε αρκετό χρόνο στη στήλη της για το θέμα αυτό. Ήταν όμως τόσες πολλές, ώστε αποφάσισε να μην ασχοληθεί ξανά μαζί του. Παρ΄ όλα αυτά, συνέχισε να δίνει απαντήσεις στη στήλη σε ερωτήσεις που αφορούσαν θέματα πιθανοτήτων.
Γιατί είχε δίκιο;
Σε εμάς μένει να δούμε δύο πράγματα. Το πρώτο από αυτά είναι η λύση του προβλήματος, και θα το δούμε στο επόμενο άρθρο.
