Το 1931, ο Αυστριακός μαθηματικός με ειδικότητα τη Λογική Kurt Gödel πέτυχε αναμφισβήτητα ένα από τα πιο εκπληκτικά πνευματικά επιτεύγματα στην ιστορία.
Οι μαθηματικοί της εποχής αναζήτησαν ένα στέρεο θεμέλιο για τα μαθηματικά: ένα σύνολο βασικών μαθηματικών γεγονότων ή αξιωμάτων, που ήταν και συνεπές —που ποτέ δεν οδηγούσαν σε αντιφάσεις— και πλήρες, λειτουργώντας ως δομικά στοιχεία όλων των μαθηματικών αληθειών.
Αλλά τα συγκλονιστικά θεωρήματα της ατελότητας του Γκέντελ, που δημοσιεύθηκαν όταν ήταν μόλις 25 ετών, συνέτριψαν αυτό το όνειρο. Απέδειξε ότι κάθε σύνολο αξιωμάτων που θα μπορούσατε να θέσετε ως πιθανή βάση για τα μαθηματικά θα είναι αναπόφευκτα ελλιπής. Πιο συγκεκριμένα,
για οποιοδήποτε σύστημα αξιωμάτων κι αν χρησιμοποιηθεί, θα υπάρχουν πάντα αληθείς προτάσεις οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχθούν..
Έδειξε επίσης ότι κανένα υποψήφιο σύνολο αξιωμάτων δεν μπορεί ποτέ να αποδείξει τη δική του συνέπεια.
Τα θεωρήματά του για την μη πληρότητα σήμαιναν ότι δεν μπορεί να υπάρξει μαθηματική θεωρία για τα πάντα, καμία ενοποίηση του τι είναι αποδεδειγμένο και τι είναι αληθινό. Το τι μπορούν να αποδείξουν οι μαθηματικοί εξαρτάται από τις αρχικές τους υποθέσεις, όχι από κάποια θεμελιώδη βασική αλήθεια από την οποία πηγάζουν όλες οι απαντήσεις.
Αντίκτυπος
Για να εκτιμηθεί ο αντίκτυπος του θεωρήματος της μη πληρότητας του Godel, είναι κρίσιμο να καταλάβουμε πώς τα μαθηματικά ήταν αντιληπτά την περίοδο που αποδείχθηκε. Μετά από πολλούς αιώνες συνύπαρξης υπό ίσους όρους ασαφών διαισθητικών αντιλήψεων και ακριβούς λογικής, τα μαθηματικά στο τέλος του 19ου αιώνα άρχισαν να αποσαφηνίζονται. Επινοήθηκαν τα αποκαλούμενα τυπικά συστήματα. Στα τυπικά συστήματα τα θεωρήματα, με χρήση αυστηρών κανόνων, βλαστάνουν από τα αξιώματα όπως τα κλαδιά από ένα δέντρο. Αυτή η διαδικασία έπρεπε να αρχίσει από κάπου. Και τα αξιώματα ήταν αυτοί οι αρχέγονοι σπόροι από τους οποίους όλα τα άλλα αναπήδησαν.
Η δύναμη αυτού του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών ήταν ότι εξάλειπτε την ανάγκη για τη σκέψη ή την κρίση. Εφ’ όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ’ όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. Η αλήθεια ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας. Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς στόχους ήταν να μειωθεί η όλη θεωρία αριθμών σε ένα τελικό τυπικό σύστημα. Όπως στη γεωμετρία του Ευκλείδη, ένα τέτοιο σύστημα θα άρχιζε με μερικά απλά αξιώματα που είναι σχεδόν αναμφισβήτητα, και θα παρείχε τα θεωρήματα με έναν μηχανικό τρόπο. Η ιδέα ήταν ότι αυτό το σύστημα θα εμπεριείχε κάθε δήλωση που θα μπορούσαμε να κάνουμε για τους φυσικούς αριθμούς. Έτσι εάν κάναμε τη δήλωση «κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων» θα ήμασταν σε θέση να αποδείξουμε αυστηρά, από τα αξιώματα, είτε ότι είναι αληθής είτε ότι είναι ψευδής. Οι λέξεις «αληθές» και «ψευδές» θα γίνονταν συνώνυμα των «αποδείξιμο» και «διαψεύσιμο» αντίστοιχα, μέσα στο σύστημα αυτό. Το Principia Mathematica των Russell και Whitehead ήταν η διασημότερη προσπάθεια να βρεθεί ένα τέτοιο σύστημα.
Το θεώρημα του Godel κατέρριψε την ελπίδα αυτήν εντελώς. Δε βρήκε απλά μια ρωγμή στο συλλογισμό των Russell και Whitehead, η οποία πιθανώς θα μπορούσε να επιδιορθωθεί. Έδειξε ότι ο ολόκληρος στόχος είναι ανεπίτευκτος! Πιο συγκεκριμένα, ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες.
Προεκτάσεις
Το θεώρημα του Godel έχει χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει προτάσεις σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Μερικά παραδείγματα:
Υπολογιστές – τεχνητή νοημοσύνη
Μια επέκταση του θεωρήματος σε αυτό το χώρο είναι ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ να γίνει τόσο έξυπνος όσο ένας άνθρωπος επειδή η έκταση της γνώσης του πρώτου περιορίζεται από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, ενώ οι άνθρωποι μπορούν να ανακαλύψουν τα απροσδόκητες αλήθειες. Παίζει ρόλο στις σύγχρονες γλωσσικές θεωρίες, οι οποίες υπογραμμίζουν τη δύναμη της γλώσσας να βρίσκει νέους τρόπους να εκφραστούν οι ιδέες.
Λογική
Ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος είναι πως δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον κόσμο μέσω της (παραδόξως) συνεπούς λογικής του. Πώς μπορούμε να αποφανθούμε εάν η λογική μας είναι παράδοξη ή όχι, δεδομένου ότι έχουμε μόνο τη λογική μας για να το κρίνουμε; Αναφέρω εδώ και το δεύτερο θεώρημα Godel, το οποίο καταδεικνύει ότι τα μόνα αριθμητικά τυπικά συστήματα που είναι ασυνεπή είναι αυτά που βεβαιώνουν τη συνέπειά τους. Αυτό μοιάζει να υπαινίσσεται πως όποιος πιστεύει με βεβαιότητα πως δεν είναι παράφρων, σίγουρα θα είναι.
Όμως η πιο σοβαρή συνέπεια του θεωρήματος της μη πληρότητας στην φιλοσοφία είναι η εξής: Αν και το θεώρημα μπορεί να δηλωθεί και να αποδειχθεί με έναν αυστηρά μαθηματικό τρόπο, αυτό που φαίνεται να λέει είναι ότι η λογική σκέψη δεν μπορεί ποτέ να διεισδύσει στην τελική αλήθεια.
Νομική
Ομοίως, δεν είναι δυνατός ο καθορισμός νόμος που θα καλύπτει όλες τις περιστάσεις. Οποιοδήποτε σύνολο νόμων κι αν δημιουργήσουμε, σύμφωνα με το θεώρημα θα υπάρξει τουλάχιστον μια περίπτωση για την οποία το νομικό σύστημα δεν θα μπορεί να αποφανθεί. Ακόμη κι αν την ειδική αυτή περίπτωση τη συμπεριλάβουμε στο νομοθετικό πλαίσιο, και πάλι θα εμφανιστεί – και πάντα θα εμφανίζεται! – μια νέα πραγματικότητα για την οποία το νομικό σύστημα δεν θα μπορεί να αντεπεξέλθει.
Δηλαδή; Η πραγματική δικαιοσύνη δεν μπορεί να έρθει από ένα σύνολο νόμων και πρέπει να αναζητηθεί κάπου αλλού – όπως ίσως στη καλλιέργεια των υποκείμενων μελών προς αυτή τη κατεύθυνση.
Ρητορική
Μεταξύ ενός συνόλου ομιλητών θέλουμε πάντα να υπάρχει τάξη στις συζητήσεις. Οπουδήποτε διοργανώνονται συζητήσεις ταυτόχρονα ορίζονται και οι κανόνες που θα πρέπει να ακολουθούνται: η κάθε ομιλία θα διαρκεί τόσα λεπτά, ο κάθε συμμετέχων θα έχει ή δεν θα έχει δικαίωμα να διακόπτει τον ομιλητή και αν ναι, θα γίνεται υπό αυτές τις συνθήκες, ο καθένας θα έχει δικαίωμα να πάρει το λόγο μέχρι τόσες φορές κτλ κτλ.
Υποθέτοντας ότι αυτοί οι κανόνες έχουν ένα στόχο, όπως για παράδειγμα να κάνουν τη συζήτηση αποδοτική ώστε να βγει ένα αποτέλεσμα από αυτή – κάποια λύση σε ένα πρόβλημα, να ακουστούν όλες οι απόψεις, να αναλυθούν σε βαθμό κατανοητό απ΄ όλους όλες οι απόψεις, να αναλυθεί σε βαθμό κατανοητό από τουλάχιστον έναν συγκεκριμένο αριθμό από τους συμμετέχοντες κτλ. Αν πράγματι οι κανόνες έχουν φτιαχτεί για τη πραγματοποίηση του στόχου, τότε μπορούμε να το ξεχάσουμε. Σύμφωνα με το θεώρημα, οποιοδήποτε σύνολο κανόνων και να οριστεί, θα υπάρχει πάντα ένας στόχος ο οποίος δεν θα μπορεί να πραγματοποιηθεί.
Με άλλα λόγια, η πραγματικά ουσιαστική συζήτηση δεν υπόκειται σε ουσιαστικούς κανόνες αλλά στη θέληση αυτών που συμμετέχουν.
Και τι γίνεται με τα μαθηματικά;
Για πολλούς το θεώρημα έπληξε την ίδια τη μαθηματική επιστήμη. Έως τότε ο κάθε ερευνητής που τα δεδομένα του έδειχναν ότι μια πρόταση είναι αληθής, το μόνο που έκανε είναι να αναζητήσει την απόδειξη που γνώριζε ότι υπάρχει: Αν κάτι είναι αληθές, τότε μπορεί και να αποδειχτεί.
Το θεώρημα το άλλαξε αυτό. Αν κάτι είναι αληθές, μπορεί και να μη μπορεί να αποδειχτεί. Και μάλιστα δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζει κάποιος εκ των προτέρων αν μπορεί να αποδειχτεί ή όχι. Έτσι για πολλούς, τα μαθηματικά έπεσαν στο κενό. Ο επιστήμονας έψαχνε για μια απόδειξη, χωρίς πλέον να έχει τη σιγουριά ότι η απόδειξη αυτή υπάρχει.
Ή τουλάχιστον, για πολλούς που δεν είχαν σχέση με τη πραγματική έρευνα των μαθηματικών, αυτός ήταν ένας σοβαρός προβληματισμός.
Τα ίδια τα μαθηματικά όμως, όπως και όλες οι υπόλοιπες φυσικές επιστήμες, έμειναν αλώβητα από τέτοιες σκέψεις. Τα μαθηματικά συνέχισαν να υπάρχουν και οι επιστήμονες συνέχισαν, συνεχίζουν και θα συνεχίσουν να μας προσφέρουν νέες γνώσεις και οπτικές για τον κόσμο.
